层次分析法及其应用
摘要
在日常生活中我们会遇到许多决策问题，处理决策问题时，要考虑的因素很多。此文把层次分析法及其应用分为四个部分进行介绍，首先对层次分析的背景、现状、目的，其次对层次分析的原理进行分析，在运用层次分析和评价或决策时，按四个步骤进行描述：建立层次结构模型；构造成对比较矩阵；计算权向量并做一致性检验；计算组合权向量并做组合一致性检验，再次对层次分析的举例分析并行应用，最后进行总结。
关键词：层次分析法 基本原理 举例分析 应用
1、 绪论
层次分析法（The Analytic Hierarchy Pricess，以下简称AHP）是由美国运筹学家、匹兹堡大学萨第（T.L.Saaty）教授于本世纪70年代提出的，他首先于1971年在为美国国防部研究“应急计划”时运用了AHP，又于1977年在国际数学建模会议上发表了“无结构决策问题的建模—层次分析法”一文，此后AHP在决策问题的许多领域得到应用，同时AHP的理论也得到不断深入和发展。目前每年都有不少AHP的相关论文发表，以AHP为基本方法的决策分析系统—“专家选择系统”软件也已早推向市场，并日益成熟。
AHP于1982年传入我国。在当年召开的中美能源、资源、环境会议上萨第教授的学生高兰尼柴（H.Gholamnezhad）向中国学者介绍了这一新的决策方法。随后，许树柏等发表了发表了国内第一篇介绍AHP的文章“层次分析法—决策的一种实用方法”（1982年）。此后，AHP在我国得到迅速发展，1987年9月我国召开了第一届AHP学术讨论会，1988年在我国召开了第一届国际AHP学术会议，目前AHP在应用和理论方面得到不断发展与完善。
它的主要特点是定性与定量分析相结合，将人的主观判断用数量形式表达出来并进行科学处理，因此，更能适合复杂的社会科学领域的情况，较准确地反映社会科学领域的问题。同时，这一方法虽然有深刻的理论基础，但表现形式非常简单，容易被人理解、接受，因此，这一方法得到了较为广泛的应用。
2、 层次分析法基本原理
2.1、层次分析法基本原理的特点
层次分析法的基本原理是排序的原理，即最终将各方法（或措施）排出优劣次序，作为决策的依据。具体可描述为：层次分析法首先将决策的问题看作受多种因素影响的大系统，这些相互关联、相互制约的因素可以按照它们之间的隶属关系排成从高到低的若干层次，叫做构造递阶层次结构。然后请专家、学者、权威人士对各因素两两比较重要性，再利用数学方法，对各因素层层排序，最后对排序结果进行分析，辅助进行决策。
它的主要特点是定性与定量分析相结合，将人的主观判断用数量形式表达出来并进行科学处理，因此，更能适合复杂的社会科学领域的情况，较准确地反映社会科学领域的问题。同时，这一方法虽然有深刻的理论基础，但表现形式非常简单，容易被人理解、接受，因此，这一方法得到了较为广泛的应用。
2.2、层次分析法的步骤：
在运用层次分析和评价或决策时，可分为四个步骤：
2.2.1、建立层次结构模型
在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下分解若干层次。同一层的诸因素从属于上一层的的各个因素有影响，同时又支配下一层的因素的作用，而同一层的各因素之间尽量相互独立。最上层为目标层，通常只有一个因素，中间层为准则层，当准则过多（多于9个）应进一步分解出子准则层，最下层为方案层。
2.2.2、构造成对比较矩阵
从层次结构模型的第2层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1-9比较尺度（表1）构造成对比较矩阵，直到最下层。
表1 1-9尺度判断定义 尺度aij 1 3 5 7 9 2，4，6，8 1，1/2，…，1/9 含义 Ci与Cj的影响相同 Ci比Cj的影响稍强 Ci比Cj的影响强 Ci比Cj的影响明显强 Ci比Cj的影响绝对的强 Ci与Cj的影响之比在上述两个相邻等级之间 Ci与Cj的影响之比为上面aij的互反数 2.2.3、计算权向量并做一致性检验
对于每一个成对比较矩阵计算最大特征根及对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量即为权向量；若不通过，需重新构造成对比较矩阵。
2.2.4、计算组合权向量并做组合一致性检验
W(3)W(2)计算最下层对目标组合权向量，利用W(s)?W(s)W(s?1)...并酌情作
一致性检验。若检验通过，则可按照组合权向量表示结果进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造一致性比率CR较大的成对比较矩阵。
3、 层次分析法实例及分析
例选拔干部模型
对三个干部候选人y1、y2 、y3，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型： 假设有三个干部候选人y1、y2 、y3，按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型： 目标层 准则层 方案层 构造成对比较矩阵 应用表1 的1-9比较尺度判定定义，对选拔干部考虑5个条件：品德x1，才能x2，资历x3，年龄x4，群众关系x5，得到成对比较阵如下： 计算得到?max(A)?5.073，CI?RI=1.12, ?max(A)?55?1?0.018，由表3.1查得表3.1 随机一致性指标RI的数值 n RI 1 0 2 0 3 0.58 4 0.90 5 1.12 6 1.24 7 1.32 8 1.41 9 1.45
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