第七章 解三角形
第一节 正弦定理与余弦定理
A组
1.（2008·陕西理，3）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,
则 a等于
A.6 答案 D
2.（2008·福建理，10）在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a+c-b）tanB=3ac，则角B的值为( ) A.
? 62
2
2
（ ）
B.2 C.3 D.2
B.
? 3 C.
??5?2?或 D.或
6363答案 D
3.下列判断中正确的是
（ ）
A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解 B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解 C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解 D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解 答案 B
4. 在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是
（ ）
A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 答案 B
5. 在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则
A. 答案 D
6.△ABC中，若a+b+c=2c(a+b),则∠C的度数是 A.60° 答案 B
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=7,c=3,则B= . 答案
5? 64
4
4
2
2
2
sinB的值为 sinC
35（ ）
85 B.
58 C.
53 D.
（ ） D.30°
B.45°或135° C.120°
8. 在△ABC中，A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积为 .
答案 103
9. （2008·浙江理，13）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（3b-c）cosA=acosC，则cosA= . 答案
3 3B组
10. 在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c. 解 ∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a,∴△ABC有两解. 由正弦定理得sinA=
asinB3sin45?3= =, b22则A为60°或120°.
①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°, c=
2sin75?bsinC==sin45?sinB
2sin(45??30?)6?2=.
sin45?2②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°, c=
2sin15?bsinC==sin45?sinB2sin(45??30?)=
sin45?6?2. 2故在△ABC中，A=60°,C=75°,c=
6?26?2或A=120°,C=15°,c=.
2211. 在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且
cosBb=-.
cosC2a?c（1）求角B的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC的面积. 解 （1）由余弦定理知：cosB=
a2?c2?b2a2?b2?c2，cosC=. 2ac2aba2?c2?b22abbbcosB将上式代入=-得:·222=-
cosC2a?c2aca?b?c2a?ca2?c2?b2?ac1整理得:a+c-b=-ac∴cosB== =-
2ac22ac2
2
2
∵B为三角形的内角，∴B=（2）将b=13,a+c=4,B=
2?. 3222222
?代入b=a+c-2accosB,得b=(a+c)-2ac-2accosB 3243311?2
∴b=16-2ac?. ?1??,∴ac=3.∴S△ABC=acsinB=
?2?12. 在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a+b）sin（A-B）=（a-b）sin（A+B），判断三角形的形状.
解 方法一 已知等式可化为a［sin（A-B）-sin（A+B）］=b［-sin（A+B）-sin(A-B)］
2
2
2222
∴2acosAsinB=2bcosBsinA
由正弦定理可知上式可化为：sinAcosAsinB=sinBcosBsinA ∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B＜2? 得2A=2B或2A=?-2B,即A=B或A=
2
2
2
22
?-B,∴△ABC为等腰或直角三角形. 22
方法二 同方法一可得2acosAsinB=2bsinAcosB
222b2?c2?a22a?c?b22222222
由正、余弦定理,可得ab= ba ∴a(b+c-a)=b(a+c-b)
2bc2ac2
即(a-b)(a+b-c)=0∴a=b或a+b=c∴△ABC为等腰或直角三角形.
13. 已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=(a+b)-c，求tanC的值.
解 依题意得absinC=a+b-c+2ab,由余弦定理知,a+b-c=2abcosC. 所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,所以2sin
CC2=-4. 化简得：tan=2.从而tanC=
C321?tan222tanCC2Ccos =4cos 2222
2
2
2
2
2
2
2
22222222
14. 已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状. 解 方法一 ∵2cos2B-8cosB+5=0,∴2(2cosB-1)-8cosB+5=0. ∴4cosB-8cosB+3=0,
12322
2
即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.
12解得cosB=或cosB=（舍去）.∴cosB=.∵0＜B＜?,∴B=
a2?c2?(?. 3∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b.∴cosB=化简得a+c-2ac=0,解得a=c.又∵B=
2
2
a?c?b=2ac222a?c2)12=，
2ac2?，∴△ABC是等边三角形. 32
方法二 ∵2cos2B-8cosB+5=0，∴2（2cosB-1）-8cosB+5=0. ∴4cosB-8cosB+3=0，即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.
解得cosB=或cosB=（舍去）.∴cosB=,∵0＜B＜?,∴B=
1232122
?, 3?=3. 3∵a,b,c成等差数列，∴a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin∴sinA+sin??322?2?2??cosA-cossinA=3. ?A?=3，∴sinA+sin33?3?化简得sinA+∴A+
3??cosA=3,∴sin??A?? =1. 26??????=,∴A=,∴C=,∴△ABC为等边三角形. 623315. （2008·广东五校联考）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin
2
A?B7-cos2C=. 22(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面积. 解 （1）∵A+B+C=180°,由4sin∴4·
2
A?B772C-cos2C=,得4cos-cos2C=,
22221?cosC7122
-(2cosC-1)=,整理,得4cosC-4cosC+1=0,解得cosC=,
222∵0°＜C＜180°,∴C=60°.
(2)由余弦定理得c=a+b-2abcosC,即7=a+b-ab,∴7=(a+b)-3ab， 由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6,∴S△ABC=absinC=×6×
12122
2
2
2
2
2
333=. 22
2011高三数学一轮热身AB组 7.1《正弦定理与余弦定理》
