同理可求得
R2 OB2?a（12＇）
???q2Rq2 a（13＇）
?、q2、q2?共同产生，即 2．A点的位置如图2所示．A的电势由q1、q1
?1R11R1??? UA?kq????PAaBAPAaBA?122??1
(10)
因
22P1A?r?2racos??a
?R22B1A?r?2r??a?2??R2??cos??????a? ???B2 22A P2A?r?2racos??a ?R22B2A?r?2r??a?代入 (10) 式得
O ??P2 a a P1 RS 图2
B1 ??R2??cos??????a? ???2?1R?U?kq? A ?222224ar?2raRcos??R?r?2racos??a
?? ??222224?r?2racos??aar?2raRcos??R?1R(11)
评分标准：
本题20分．第1问18分，解法Ⅰ中(1)、(2)、(6)、(7)、(8)、(9) 式各3分．解法Ⅱ的评分可参考解法Ⅰ．
第2问2分，即(11)式2分．
六、令I表示题述极短时间?t内挡板对C冲量的大小，因为挡板对C无摩擦力作用，可知冲量的方向垂直于DE，如图所示；I?表示B、C间的杆对B或C冲量
A
11
D B???? I C E 的大小，其方向沿杆方向，对B和C皆为推力；vC表示?t末了时刻C沿平行于DE方向速度的大小，vB表示?t末了时刻B沿平行于DE方向速度的大小，vB?表示?t末了时刻B沿垂直于DE方向速度的大小．由动量定理， 对C有
I?sin??mvC
(1
I?I?cos??mv (2
对B有
I?sin??mvB
对AB有
I?cos??2m?v?vB?? 因为B、C之间的杆不能伸、缩，因此B、C沿杆的方向的分速度必相等．故有
vCsin??vB?cos??vBsin?
由以上五式，可解得
I?3?sin2?1?3sin2?mv 评分标准：
本题20分． (1)、(2)、(3)、(4)式各2分． (5)式7分，(6)式5分．
七、解法Ⅰ：
当金属杆ab获得沿x轴正方向的初速v0时，因切割磁力线而产生感应电动势，由两金属杆与导轨构成的回路中会出现感应电流．由于回路具有自感系数，感应电流的出现，又会在回路中产生自感电动势，自感电动势将阻碍电流的增大，所以，虽然回路的电阻为零，但回路的电流并不会趋向无限大，当回路中一旦有了电流，磁场作用于杆ab的安培力将使ab杆减速，作用于cd杆的安培力使cd杆运动．
设在任意时刻t，ab杆和cd杆的速度分别为v1和v2（相对地面参考系S），当v1、v2为正时，表示速度沿x轴正方向；若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向，则因两杆作切割磁力线的运动而产生的感应电动势
E?Bl?v1?v2?
当回路中的电流i随时间的变化率为?i?t时，回路中的自感电动势
E?iL??L?t 根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有
12
(3
(4
(5
(6
(1)
(2)
E?EL?0
(3)
金属杆在导轨上运动过程中，两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零，系统的质心作匀速直线运动．设系统质心的速度为VC，有 得
mv0?2mVC
(4)
VC?v0 2(5)
VC方向与v0相同，沿x轴的正方向．
现取一新的参考系S?，它与质心固连在一起，并把质心作为坐标原点O?，取坐标轴O?x?与x轴平行．设相对S?系，金属杆ab的速度为u，cd杆的速度为u?，则有
v1?VC?u v2?VC?u?
(6) (7)
因相对S?系，两杆的总动量为零，即有 mu?mu??0 由(1)、(2)、(3)、(5)、(6) 、(7) 、(8)各式，得
(8)
?i (9) ?t在S?系中，在t时刻，金属杆ab坐标为x?，在t＋?t时刻，它的坐标为x???x?，则由速度的定义
?x? (10) u??t代入 (9) 式得 (11) 2Bl?x??L?i
2Blu?L若将x?视为i的函数，由（11）式知?x??i为常数，所以x?与i的关系可用一直线方程表示
x??Li?b 2Bl1这时i = 0，x0，2(12)
式中b为常数，其值待定．现已知在t＝?时刻，金属杆ab在S?系中的坐标x?＝故得
x??i?L1i?x0 2Bl21???x??x0?
2??(13)
或
2BlL(14)
13
1?1?x0表示t＝?时刻金属杆ab的位置．x?表示在任意时刻t，杆ab的位置，故?x??x0?就
2?2?是杆ab在t时刻相对初始位置的位移，用X表示，
1(15) x0
2当X>0时，ab杆位于其初始位置的右侧；当X<0时，ab杆位于其初始位置的左侧．代入(14)式，得
2Bl (16) i?X
L 这时作用于ab杆的安培力
X?x??2B2l2 (17) F??iBl??X
Lab杆在初始位置右侧时，安培力的方向指向左侧；ab杆在初始位置左侧时，安培力的方向指向右侧，可知该安培力具有弹性力的性质．金属杆ab的运动是简谐振动，振动的周期
T?2π?m 222BlL?(18)
在任意时刻t， ab杆离开其初始位置的位移
?2π?X?Acos?t???
?T?(19)
A为简谐振动的振幅，??为初相位，都是待定的常量．通过参考圆可求得ab杆的振动速度
?2π??2π?t??? u??A??sin??T??T? (19)、(20)式分别表示任意时刻ab杆离开初始位置的位移和运动速度．现已知在t＝0时刻，ab
杆位于初始位置，即
X = 0 速度
故有
解这两式，并注意到(18)式得
(20)
u?v0?VC?v0?11v0?v0 220?Acos? v0?2π???A??sin? 2?T? 14
??3π2
A?v0vT?04?2BlmL 2 (21)
由此得ab杆的位移
(22)
X?v02BlmL3π?v?2πcos?t???022?2Bl?TmL2πsint 2T（23）
由 (15) 式可求得ab杆在S?系中的位置
??xabv1x0?022BlmL2πsint 2T(24)
因相对质心，任意时刻ab杆和cd杆都在质心两侧，到质心的距离相等，故在S?系中，cd杆的
位置
相对地面参考系S，质心以VC?系中的位置
cd杆在S系中的位置
回路中的电流由 (16) 式得
v1???x0?0xcd22BlmL2?sint 2T(25)
1v0的速度向右运动，并注意到（18）式，得ab杆在地面参考2v1v0t?022BlmL?2??t sin?Bl?2mL???xab?x0?(26)
xcd?v1v0t?022BlmL?2??t sin?Bl?2mL???（27）
i?2Blv0L2Bl?mL2πm2??t sint?v0sin?Bl?2T2L?mL??(28)
解法Ⅱ：
当金属杆在磁场中运动时，因切割磁力线而产生感应电动势，回路中出现电流时，两金属杆都要受到安培力的作用，安培力使ab杆的速度改变，使cd杆运动．设任意时刻t，两杆的速度分别为v1和v2（相对地面参考系S），若规定逆时针方向为回路电动势和电流的正方向，则由两金属杆与导轨构成的回路中，因杆在磁场中运动而出现的感应电动势为
E?Bl?v1?v2?
15
(1’)
第21届全国中学生物理竞赛复赛题试卷
