评分标准：
本题20分．(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6) 、(8)式各3分， (9) 式6分．
三、因?子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命
?0?2.0?10?6s
根据时间膨胀效应，在地球上观测到的?子平均寿命为?，
???01??vc?2 (1)
代入数据得 ? = 1.4×10－5s
相对地面，若?子到达地面所需时间为t，则在t时刻剩余的?子数为
根据题意有
对上式等号两边取e为底的对数得
代入数据得
(2)
N?t??N?0?e?t?
(3)
N?t??e?t??5% N?0?(4)
t???ln5 100(5)
t?4.19?10?5s
(6)
根据题意，可以把?子的运动看作匀速直线运动，有
h?vt
(7)
代入数据得
h?1.24?104m
评分标准：
本题15分． (1)式或(2)式6分，(4)式或(5)式4分，(7) 式2分，(8) 式3分．
四、1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3个光
S1 源的连线，O2位于z轴上，如图1所示．图中MM?表h S2 ?、S2?、S3?为三个光束中心光示组合透镜的平面，S1h 线与该平面的交点． S2O2 ＝ u就是物距．根据透 镜成像公式
M (8)
??????u O1 O3 ? S1O2(S2’) S3’ L M’ 图1 P z 6
可解得
111?? (1) uL?uf1 u?[L?L2?4fL]
2因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utan? ≤h即u≤2h．在上式中取“－”号，代入f 和L的值，算得
u?(6?32)h≈1.757h (2)
此解满足上面的条件．
分别作3个点光源与P点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P点，3个透镜的光心O1、O2、O3应分别位于这3条连线上（如图1）．由几何关系知，有
L?u11h?(?2)h?0.854h L24?之下与S1?的距离为 即光心O1的位置应在S1?O1?h?O1O2?0.146h S1
?之上与S3?的距离为0.146h处．由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心同理，O3的位置应在S3之间距离必须等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P点． 2．现在讨论如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜． 因为三个透镜的半径r = 0.75h，将它们的光心分别放置到O1、O2、O3处时，由于O1O2＝O2O3＝0.854h<2r，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求．由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况．
图2画出了L1、L2放在MM?平面内时相互交叠的情况（纸面为MM?平面）．图中C1、C2
?、S2?为光束中心光线与透镜的交点，W1、W2分别为C1、C2与O1O2的交表示L1、L2的边缘，S1点．
O1O2?O2O3?(3)
(4)
?为圆心的圆1和以S2?（与O2重合）为圆心的圆2分别S1是光源S1和S2投射到L1和L2时产生的光斑的边缘，其半径均为
??utan??0.439h (5) 根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜．首先，圆1的K点（见图2）是否落在L1上？由几何关系可知
0.439h h T Q K 圆1 S1’ O1 W2 C1 0.146h Q’ N’ T’ x2 0.854h
N 0.439h W1 O2 (S2’) 圆2 C2’ 图2
x1 ???0.439?0.146?h?0.585h?r?0.75hO1K???O1S1
(6)
故从S1发出的光束能全部进入L1．为了保证全部光束能进入透镜组合，对L1和L2进行加工时必须保留圆1和圆2内
7
的透镜部分．
下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法．在O1和O2之间作垂直于O1O2且分别与圆1和圆2相切的切线QQ?和NN?．若沿位于QQ?和NN?之间且与它们平行的任意直线TT?对透镜L1和L2进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部．同理，对L2的下半部和L3进行切割，然后将L2的下半部和L3粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜．这个组合透镜可以将S1、S2、S3发出的全部光线都会聚到P点．
现在计算QQ?和NN?的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件．设透镜L1被切去部分沿O1O2方向的长度为x1，透镜L2被切去部分沿O1O2方向的长度为x2，如图2所示，则对任意一条切割线TT?， x1、x2之和为
d?x1?x2?2r?O1O2?0.646h
（7）
由于TT?必须在QQ?和NN?之间，从图2可看出，沿QQ?切割时，x1达最大值(x1M)，x2达最小值(x2m)，
?O1?? x1M?r?S1?O1的值，得 代入r，??和S1
代入(7)式，得
(9) x2m?d?x1M?0.189h
由图2可看出，沿NN?切割时，x2达最大值(x2M)，x1达最小值(x1m)， x2M?r?? 代入r和??的值，得 (10) x2M?0.311h （11） x1m?d?x2M?0.335h
由对称性，对L3的加工与对L1相同，对L2下半部的加工与对上半部的加工相同．
评分标准：
本题20分．第1问10分，其中（2）式5分，（3）式5分，
第2问10分，其中(5)式3分，(6)式3分，(7)式2分，(8)式、(9)式共1分，(10)式、(11)式共1分．
如果学生解答中没有(7)—(11)式，但说了“将图2中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉）”给3分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证O1O2=O1O2=0.854h，再给1分，即给(7)—(11)式的全分（4分）．
五、1．解法Ⅰ：
?的位置应位于OP1的延长线上的某点B1处，q2?如图1所示，S为原空腔内表面所在位置，q1的位置应位于OP2的延长线上的某点B2处．设A1为S面上的任意一点，根据题意有
x1M?0.457h
(8)
8
kq1A1P1?k?q1A1B1A1 ?0 (1)
B2
O ??B1
kqP2 a a P1 2?kq?2A (2)
1P2A?0 1B2SR图1 怎样才能使 (1) 式成立呢？下面分析图1中?OP1A1与?OA1B1的关系．
若等效电荷q1?的位置B1使下式成立，即
OP1?OB1＝R2
即
OP1OA?OA11OB
1则
△OP1A1∽△OA1B1
有
A1P1OP1aA1B?1OA?1R 由 (1)式和 (5)式便可求得等效电荷q1?
q???R1aq1 由 (3) 式知，等效电荷q1?的位置B1到原球壳中心位置O的距离
OBR21?a 同理，B2的位置应使△OP2A1∽△OA1B2，用类似的方法可求得等效电荷
q???R2aq2 等效电荷q?2的位置B2到原球壳中心O位置的距离 OBR22?a 解法Ⅱ：
在图1中，设A1P1?r1，A1B1?r1?，OB1?d．根据题意，q1和q1?两者在A1点产生的电势和为零．有
9
(3) (4)
5)
6)
7)
(8)
(9)
(((
kq1q??k1?0 r1r1?（1＇）
式中
由（1＇）、（2＇）、（3＇）式得
r1?(R2?a2?2Racos?)12
（2＇） （3＇）
r1??(R2?d2?2Rdcos?)12
?(R2?a2?2Racos?) q12(R2?d2?2Rdcos?)?q12（4＇）
（4＇）式是以cos?为变量的一次多项式，要使（4＇）式对任意?均成立，等号两边的相应系数
应相等，即
由（5＇）、（6＇）式得
解得
?(R2?a2) q12(R2?d2)?q122（5＇）
?a （6＇q12d?q1）
ad2?(a2?R2)d?aR2?0
（7＇） （8＇）
(a2?R2)?(a2?R2) d?2a由于等效电荷位于空腔外部，由（8＇）式求得 由（6＇）、（9＇）式有
R2 d?a（9＇）
R22??2q1 q1a2（10＇）
考虑到（1＇）式，有
???q1Rq1 a（11＇）
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第21届全国中学生物理竞赛复赛题试卷
