《微分几何》作业
一. 填空题
1. 曲面的第一基本形式为（ ）。
2. 空间曲线的基本公式是（ ）。
3. 曲面r?r(u,v)在任一点（u，v）的单位法向量公式为（ ） 4. 空间曲线r?r(s)的切向量为（ ）。
?????5. 曲线的主法向量?总是指向曲线（ ）。
6. 曲面r?r(u,v)上正常点满足的条件为（ ） 7. 曲线的挠率表达式为（ ）。 8. 曲面上曲率线满足的微分方程为（ ）。
9. 在曲面S: r?r(u,v)上，u线的微分方程是( )。 10.设a?{1,0?3},b?{?2,x,6}， 若a∥b 则 ( )。 11.可展曲面上每一点都是 ( )点。
12.曲线r?r(t)在t?t0点的切线方程为（ ）。
13． 设曲线C：r =r(s), 则C在s0处的主法线方程是 ． 14． 设?，?，?是曲线C：r=r(s)的三个基本单位向量， 则(γ?α)β=
．
????15． 设a=｛1，0， 0｝，b =｛0，2，0｝， c=｛0，0，6｝，则（a，b，2c）= ．
16 若向量函数r=r(t)的终点始终在中心为坐标原点, 半径为2的球面上， 则 rr?= ． 17． 若曲线在一点的挠率τ＞0, 则曲线在该点是 旋的．
18． 在曲面上一点，如果对于任意方向，法曲率都是零，则该点是曲面上的 点．
1, 2, 3?, b???1, x, 1?．若a?b,则x? ． 19． 已知向量a??20． 设n是非零向量,且an?bn?cn?0, 则?a?b?c= ． 21． 曲线r?r(s)在s?s0处的密切平面方程是 ．
??22． 设曲线C:r?r(s)的曲率是??s?,则?= ． r第 1 页 共 5 页
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23． 空间曲线论基本公式是 ．
24．根据曲线论的基本定理，在可以相差一个空间位置的情况下，唯一决定一条空
间曲线的两个不变量是曲线的 和 ． 二. 判断题
1. 空间内两自由向量一定共面。 2. 可展曲面上没有双曲点。
3. 曲面上曲线在一点的测地曲率是该曲线在这一点切平面上正投影线在这一点的曲率。
?????4. 若r(t)?r(t)?0，则r(t)是平面曲线。
5. 空间曲线的形状（不考虑位置差别）完全由它的曲率和挠率唯一确定。 6. 曲面r?r(u,v)上任一点的单位法向量为ru?rv。 7. 曲面在正常点处一定有切平面和法线。
8. 曲线 C： r=r?s?与曲线C：r=??s?在s?s0处有相同的曲率。 9. du:dv?0:1表示u?线的切方向。
10.向量函数r?r?t?满足?r?t?,r??t?,r???t???0, 则必有一常向量a，满足a⊥r?t?. 11.曲面上点都是椭圆点，则高斯曲率恒大于零. 12.高斯曲率K≡0的曲面一定是某一条曲线的切线曲面. 三. 选择题
?????,?r?1. r(s)平行于固定平面与（r,r）=0的关系是：
A：充分条件； B：充要条件； C：必要条件。
2. 在曲线r=r(t)上一点r(t)的切线和其邻近一点r(t?h)决定一平面， 当h?0 时的极限平面存在，是：
A：从切平面； B：法平面； C：密切平面。 3. 曲线的曲率和挠率与参数的选择关系是（ ）.
A:有关系 B: 无关 C: 无法判定。
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???????? 4. 下列等式成立的是（ ）：
2A：kn?k?kg； B．kg?k?kn； C．k2?kn?kg。
22222225. 挠率??0,曲率k?2的曲线是( ) A．半径为4的圆； B.半径为6. 可展曲面与（ ）等距等价：
A.球面； B.平面； C.正螺面。
11的圆； C．半径为2的圆 ； D.半径为的圆。 42?7. r(s)具有固定方向与r?r=0的关系是（ ）：
A.必要条件； B.充分条件； C.充要条件。 8. 如果所有密切平面垂直于某个固定直线，那么曲线是（ ）：
A.一般空间曲线； B.平面曲线； C.不确定。 9. 球面上的法截线是（ ）：
A.大圆； B.一般圆； C.一般曲线。 10. 高斯曲率表达式错误的为：（ ）
???k1?k2LN?M2K?A. K?k1k2； B.K?； C.。
2EG?F211. 若向量函数r?r(t)的终点在通过原点的一条直线上，则( )
A．r'(t)?2； B. r?(t)是定向的； C．r?(t)?1。 12. 在曲线r=r(t)上一点t?t0及其邻近一点t?t0?h决定一直线， 当h?0 时的极限直线存在，是：
A．切线； B．主法线； C．副法线。 13. 曲率线满足的条件是（ ）。
???????? A． n??； B．n??; C． dn∥?。
14. 在u?线为测地线的半测地坐标网时，曲面的第一基本形式为：
A．I?du?G(u,v)dv; B．I?du?G(u)dv ; C．I?E(u,v)du?G(u,v)dv。
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222222 15. 若曲面S在每一点的高斯曲率为
A．
1，则它可以与半径为( )的球面贴合 411 ； B. 2 ； C. 。 2416.如果?G是曲面上的测地三角形，则Gauss?Bonnet公式为：
A.
??Kd???kG?Ggds?2?； B.??Kd??S(?)??；
GC.
??Kd???(???)??； . D.以上三种都对。
Gi?1i317.设a,b均为非零向量，且ab?0，则（ ）
Ａ.a,b线性相关； Ｂ.a,b线性无关； Ｃ.a可以由b线性表示； D.b可以a由线性表示 18.空间曲线的形状( )决定
A．由曲率和挠率 B. 仅由曲率 .C．仅由挠率 D. 由参数的选取 19.设S 是球面， 则( )
A．S上每一点是双曲点； B. S上每一点是抛物点； C．S上的圆的?指向球心； D. S上的测地线的?指向球心. 20.第二类克氏符号?ij只与（ ）有关：
k A．E，F，G； B．L，M，N； C．E，F，G，L，M，N； D．都无关。 四. 证明题
1. 证明：曲线r?{1?3t?2t,2?2t?5t,1?t}是平面曲线。
?22212?r?{u2?v,2u3?uv,u4?u2v}332. 证明是可展曲面。
3. 如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。 4. 如果曲面上曲线既是测地线又是曲率线，则它是平面线。
5. 设C是半径为R的球面上半径为r?0?r?R?的圆， ?g是曲线C上各点的测地曲率.
11. ?22rR?6. 证明r(u,v)?{vcosu,vsinu,au?b}不是可展曲面。
证明： κg?2第 4 页 共 5 页
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7. 证明：如果曲线的所有主法线都经过一个固定点，则曲线是以固定点为圆心的圆. 8. 可展曲面上的直母线是曲率线.
9． 试证:如果曲线的所有密切面都经过一个固定点,则曲线是平面曲线． 10. 证明：曲面S: r??u,uv,uf(v)?在每一点的切平面都通过坐标原点 五. 计算题
t2t3?1. 求曲线 r?{t,,}的曲率和挠率。
23?2. 求曲线r(t)?{acost,asint,bt}在点t?0的法平面方程。
?233. 求曲线r?{t,t,t}在t?1处的副法线和从切平面方程。
?4. 求正螺面r?{ucosv,usinv,bv}的第一、第二基本形式，并计算u?曲线和(d)?1:2方向的交角。 bt2ct3?,}的曲率和挠率。 5. 求曲线 r(t)?{at,23?6. 求曲线r(t)?{acost,asint,bt}在点t?0的密切平面方程。
7. 求曲线C：r=｛
5812cost, ?sint, cost｝的曲率和挠率. 1313138. 求曲面S：r=?a?u?v?,b?u-v?,uv??a?0,b?0?的高斯曲率 9． 求曲线C：r=?3cost,3sint,4t?上从t?0到t?2这一段弧的长度． 10． 求曲线C：r=?cost,sint,t?在(1,0,0)处的α和γ．
?t2t3?11． 求曲线r??t,,?的曲率和挠率．
?23? 12． 求曲线C：r?ecost,esint,e在t?0处的切线方程． 13． 求曲线C：r=t,t,t2?ttt??23?上在t?0处的密切面方程．
14． 求抛物线y?x的曲率．
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200271 微分几何 作业（专升本）
