2019中考数学压轴题专项训练题二
1.如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．
（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；
（2）如图2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，s有最大值，最大值是多少？
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标？
2.（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD?BC=AP?BP． （2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．
3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，tan∠ACB=2，将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF．点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，抛物线y=ax2+bx+2的图象过点A，C，F． （1）求抛物线所对应函数的表达式；
（2）在边DE上是否存在一点M，使得以O，D，M为顶点的三角形与△ODE相似，若存在，求出经过M点的反比例函数的表达式，若不存在，请说明理由；
（3）在x轴的上方是否存在点P，Q，使以O，F，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形OABC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不能存在，请说明理由；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得HA﹣HC的值最大，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
4.如图,在直角坐标系中,Rt△OAB的直角顶点A在x轴上,OA=4,AB=3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度,沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发,以每秒1.25个单位长度的速度,沿OB向终点B移动.当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时,解答下列问题：
（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；
（2）设△OMN的面积是S,求S与x之间的函数表达式；当x为何值时,S有最大值？最大值是多少？ （3）在两个动点运动过程中,是否存在某一时刻,使△OMN是直角三角形？若存在,求出x的值；若不存在,请说明理由．
5.如图所示，已知抛物线y=x2﹣1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标；
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
答案： 1.解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴， ∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4．BE=
=3．∴CE=2．
2∴E点坐标为（2，4）．在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，又∵DE=OD．∴（4﹣OD）+22=OD2． 解得：OD=2.5．∴D点坐标为（0，2.5）．
（2）如图②∵PM∥ED，∴△APM∽△AED．∴，又知AP=t，ED=2.5，AE=5，
PM=0.5t×2.5=0.5t，又∵PE=5﹣t．而显然四边形PMNE为矩形．
2S矩形PMNE=PM?PE=0.5t×（5﹣t）=﹣0.5t2+2.5t；∴S四边形PMNE=﹣0.5（t﹣2.5）+
，
又∵0＜2.5＜5．∴当t=2.5时，S矩形PMNE有最大值．
（3）（i）若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA（如图①）
在Rt△AED中，ME=MA，∵PM⊥AE，∴P为AE的中点，∴t=AP=0.5AE=2.5． 又∵PM∥ED，∴M为AD的中点．过点M作MF⊥OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，
∴MF=0.5OD=1.25，OF=0.5OA=2.5，∴当t=2.5时，（0＜2.5＜5），△AME为等腰三角形．
此时M点坐标为（2.5，1.25）．
（ii）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图②） 在Rt△AOD中，AD=
=
=
．
．
过点M作MF⊥OA，垂足为F．∵PM∥ED，∴△APM∽△AED．∴∴t=AP=
=
=2，∴PM=t=．∴MF=MP=，OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2，
∴当t=2时，（0＜2＜5），此时M点坐标为（5﹣2，）．
综合（i）（ii）可知，t=2.5或t=2时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，
相应M点的坐标为（2.5，1.25）或（5﹣2，）．
2.（1）证明：如图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，
∴∠APD=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴，∴AD?BC=AP?BP；
（2）结论AD?BC=AP?BP仍成立；理由：证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC， 又∵∠BPD=∠A+∠APD，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，
∵∠DPC=∠A=θ，∴∠BPC=∠APD，又∵∠A=∠B=θ，∴△ADP∽△BPC，∴∴AD?BC=AP?BP；
（3）解：如下图，过点D作DE⊥AB于点E，
，
∵AD=BD=10，AB=12，∴AE=BE=6∴DE==8，
∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，∴DC=DE=8，∴BC=10﹣8=2， ∵AD=BD，∴∠A=∠B，又∵∠DPC=∠A，∴∠DPC=∠A=∠B， 由（1）（2）的经验得AD?BC=AP?BP，
又∵AP=t，BP=12﹣t，∴t（12﹣t）=10×2，∴t=2或t=10，∴t的值为2秒或10秒． 3.解：（1）∵矩形OABC，∴BC=OA=1，OC=AB，∠B=90°， ∵tan∠ACB=2，∴AB:BC=2∴OC:OA=2，则OC=2，
∵将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF， ∴OF=2，则有A（﹣1，0）C（0，2）F（2，0）
∵抛物线y=ax2+bx+2的图象过点A，C，F，把点A、C、F坐标代入
得a-b+c=0,4a+2b+c=0,c=2∴解得a=-1,b=1,c=2∴函数表达式为y=﹣x2+x+2， （2）存在，当∠DOM=∠DEO时，△DOM∽△DEO∴此时有DM:DO=DO:DE. ∴DM2=0.5,∴点M坐标为（0.5，1），
设经过点M的反比例函数表达式为y=kx-1，把点M代入解得k=0.5 ∴经过M点的反比例函数的表达式为y=0.5x-1， （3）存在符合条件的点P，Q．
∵S矩形ABCD=2×1=2，∴以O，F，P，Q为顶点平行四边形的面积为4， ∵OF=2，∴以O，F，P，Q为顶点平行四边形的高为2， ∵点P在抛物线上，设点P坐标为（m，2），∴﹣m2+m+2=2，解得m1=0，m2=1， ∴点P坐标为P1（0，2），P2（1，2）
∵以O，F，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，∴PQ∥OF，PQ=OF=2． ∴当点P坐标为P1（0，1）时，点Q的坐标分别为Q1（2，2），Q2（﹣2，2）； 当点P坐标为P2（1，2）时，点Q的坐标分别为Q3（3，2），Q4（﹣1，2）； （4）若使得HA﹣HC的值最大，则此时点A、C、H应在同一直线上， 设直线AC的函数解析式为y=kx+b，把点A（﹣1，0），点C（0，2）代入得 -k+b=0,b=2解得k=2,b=2∴直线AC的函数解析式为y=2x+2，
2019中考数学压轴题专项训练题二(附答案)
