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微专题五三角函数问题的多解探究
[解题技法]
三角函数是高中数学的重要内容，是每年高考的必考知识点，也是与其它知识交汇频率较高的知识点，它与数列、向量、方程、不等式、解析几何等知识紧密联系，历来倍受各级各类命题者的青睐． 题目已知3cosx＋4sinx＝5，求tanx的值． 解方法一构造方程
由3cosx＋4sinx＝5两边平方，得 9cos2x＋24sinxcosx＋16sin2x＝25. 而25＝25(sin2x＋cos2x)，
所以上式可整理为9sin2x－24sinxcosx＋16cos2x＝0. 即(3sinx－4cosx)2＝0.
4
所以3sinx－4cosx＝0，解得tanx＝.
3方法二构造方程组
??sin2x＋cos2x＝1，由?
?3cosx＋4sinx＝5，?
消去cosx，
整理得(5sinx－4)2＝0. 43解得sinx＝，cosx＝. 55sinx4
故tanx＝＝. cosx3方法三构造辅助角
3433?4?由3cos x＋4sin x＝5?sin x＋ cos x?＝5sin(x＋φ)＝5，其中cos φ＝，sin φ＝.所以tan φ＝. 5554?5?π
所以x＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
2
π4??于是tanx＝tan?2kπ＋－φ?＝cotφ＝. 23??方法四代数换元
令tanx＝t，即tcosx＝sinx，代入3cosx＋4sinx＝5， 得3cosx＋4tcosx＝5，cosx＝再代入sin2x＋cos2x＝1，得?44
解得t＝，即tanx＝. 33
55t
，sinx＝. 4t＋34t＋3
?5?2＋?5t?2＝1.
????4t＋3??4t＋3?
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方法五运用三角函数定义
设P(m，n)为角x终边上任意一点，P点到原点O的距离为r，则r＝m2＋n2. nm
把sinx＝，cosx＝代入已知等式得
rrmn
3·＋4·＝5. rr
即(3m＋4n)2＝(5r)2＝25(m2＋n2)．
整理得(4m－3n)2＝0.所以4m＝3n，显然m≠0. n4故tanx＝＝.
m3方法六构造直线斜率
由3cosx＋4sinx＝5可知点A(cosx，sinx)在直线3x＋4y＝5上，同时也在单位圆x2＋y2＝1上，所以点A为直线与单位圆的切点．
34
由于直线的斜率为－，所以OA的斜率为，
434
即tanx＝. 3方法七构造单位圆
34
因为3cosx＋4sinx＝5，即cosx＋sinx＝1.
55
?34?设A(cosx，sinx)，B?，?， ?55?
则点A，B均在单位圆x2＋y2＝1上． 34
所以过B点的切线方程为x＋y＝1.
5534
可知点A(cosx，sinx)也在切线x＋y＝1上，
55
344
从而点A也是切点，由切点的唯一性也可知A，B两点重合，所以cosx＝，sinx＝，即tanx＝. 553方法八构造平面向量
34?34?因为cosx＋sinx＝1，不妨令m＝(cosx，sinx)，n＝?，?，可知|m|＝1，|n|＝1.
55?55?所以m，n均为单位向量，且m·n＝1. 由|m||n|≥|m·n|，等号成立的条件为：m∥n， 434则有cosx＝sinx，即tanx＝. 553
2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第四章 微专题五 Word版含解析
