3．2.1 直线的方向向量及平面的法向量
1．用向量表示直线的位置
直线l上一点A 条件 01方向向量) 表示直线l方向的向量a(即直线l的□→→在直线l上取 AB＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t使得AP→02tAB＝□ 定位置 定点 点A和向量a可以确定直线的位置 可以具体表示出l上的任意一点 形式 作用 2．用向量表示平面的位置 (1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定
03相交直线的方向向量a，b和交点O 条件 平面α内两条□形式 对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)，使得→04xa＋yb OP＝□ (2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定
平面的法向量 05□直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量 确定平面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的 3．空间中平行、垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则
线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 12a⊥b?13l⊥m?□□a·b＝0 06a∥b?07l∥m?□□a＝kb(k∈R) 09a·u＝0 l∥α?08□a⊥u?□11u＝kv(k∈R) α∥β?10□u∥v?□
线面垂直 面面垂直 15a＝λu(λ∈R) l⊥α?14□a∥u?□17u·v＝0 α⊥β?16□u⊥v?□
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
→
(1)直线上任意两个不同的点A，B表示的向量AB都可作为该直线的方向向量．( ) (2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )
(3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量的坐标可以是________．
(2)已知a＝(2，－4，－3)，b＝(1，－2，－4)是平面α内的两个不共线向量．如果n＝(1，m，n)是α的一个法向量，那么m＝________，n＝________.
(3)(教材改编P104T2)设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，
k)，若α∥β，则k＝________.
(4)已知直线l1，l2的方向向量分别是v1＝(1,2，－2)，v2＝(－3，－6,6)，则直线l1，
l2的位置关系为________．
1
答案 (1)(2,4,6) (2) 0 (3)4 (4)平行
2
探究1 点的位置向量与直线的方向向量
1??17??1
例1 (1)若点A?－，0，?，B?，2，?在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
2??22??22??12??1
A.?，，1? B.?，1，?
3??33??3
?21??21?C.?，，1? D.?1，，?
?33??33?
(2)已知O为坐标原点，四面体OABC的顶点A(0,3,5)，B(2,2,0)，C(0,5,0)，直线BD∥
CA，并且与坐标平面xOz相交于点D，求点D的坐标．
7??11?1→→?1?12?1
[解析] (1)AB＝?，2，?－?－，0，?＝(1,2,3)，?，，1?＝(1,2,3)＝AB，又因
2??22?3?2?33?3
→
为与AB共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量．故选A.
(2)由题意可设点D的坐标为(x,0，z)， →→
则BD＝(x－2，－2，z)，CA＝(0，－2,5)． ∵BD∥CA，∴?
?x－2＝0，???z＝5，
∴?
?x＝2，???z＝5，
∴点D的坐标为(2,0,5)． [答案] (1)A (2)见解析 拓展提升
求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量的坐标，利用两向量平行的充要条件解题．
→→
【跟踪训练1】 已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，在直线AB上有一点Q，使得AQ＝－2QB，求点Q的坐标．
→→
解 由题设AQ＝－2QB，
设Q(x，y，z)，则(x－2，y－4，z)＝－2(1－x,3－y,3－z)，
x－2＝－2?1－x?，??
∴?y－4＝－2?3－y?，??z＝－2?3－z?，
x＝0，??
解得?y＝2，∴Q?0，2，6?.
??z＝6，
探究2 求平面的法向量
1
例2 如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，2求平面SCD与平面SBA的法向量．
→→→
[解] ∵AD，AB，AS是三条两两垂直的线段，∴以A为原点，分别以AD，AB，AS的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系，
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.1直线的方向向量及平面的法向量讲义
