第一节
集__合
[知识能否忆起]
一、元素与集合
1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． 2．集合中元素与集合的关系：
元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和?. 3．常见集合的符号表示： 集合 表示 4．集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图． 二、集合间的基本关系 描述关系 集合间的基本关系 真子集 相等 子集 文字语言 集合A与集合B中的所有元素都相同 A中任意一元素均为B中的元素 A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 符号语言 A＝B A?B或B?A AB或BA ??B ?B(B≠?) 自然数集 N 正整数集 N*或N＋ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 空集 三、集合的基本运算 符号表示 集合的并集 A∪B 集合的交集 A∩B 集合的补集 若全集为U，则集合A的补集为?UA 图形表示 意义 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x?A}
[小题能否全取]
1．(2012·大纲全国卷)已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )
A．A?B B．C?B C．D?C
D．A?D
解析：选B 选项A错，应当是B?A.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D错，应当是D?A.
2．(2012·浙江高考)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(?RB)＝( )
A．(1,4) C．(1,3)
B．(3,4) D．(1,2)∪(3,4)
解析：选B 因为?RB＝{x|x＞3，或x＜－1}，所以A∩(?RB)＝{x|3＜x＜4}． 3．(教材习题改编)A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，则A∩B＝B时a的值是( )
A．2
B．2或3 D．1或2
C．1或3
解析：选D 验证a＝1时B＝?满足条件；验证a＝2时B＝{1}也满足条件． 4.(2012·盐城模拟)如图，已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A＝{2,3,4,5,6,8}，B＝{1,3,4,5,7}，C＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．
解析：阴影部分表示的集合为A∩C∩(?UB)＝{2,8}． 答案：{2,8}
2??5．(教材习题改编)已知全集U＝{－2，－1,0,1,2}，集合A＝?x?x＝n－1，x，n∈Z?，
?
?
?
则?UA＝________.
2??
解析：因为A＝?x?x＝n－1，x，n∈Z?，
?
?
?
当n＝0时，x＝－2；n＝1时不合题意； n＝2时，x＝2；n＝3时，x＝1； n≥4时，x?Z；n＝－1时，x＝－1； n≤－2时，x?Z. 故A＝{－2,2,1，－1}，
又U＝{－2，－1,0,1,2}，所以?UA＝{0}． 答案：{0}
1.正确理解集合的概念
研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．
2．注意空集的特殊性
空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A?B，则需考虑A＝?和A≠?两种可能的情况．
典题导入
[例1] (1)(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 C．8
B．6 D．10
元素与集合 (2)已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n)2013＝________. [自主解答] (1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}， ∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.
∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}， ∴B中所含元素的个数为10. (2)由M＝N知
?n＝1，?n＝m，???或? ??logn＝mlogn＝1，?2?2???m＝0，?m＝2，?∴或? ?n＝1???n＝2，
故(m－n)2 013＝－1或0. [答案] (1)D (2)－1或0
由题悟法
1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在
求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．
2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．
以题试法
1．(1)(2012·北京东城区模拟)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为( )
A．9 C．7
B．8 D．6
(2)已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，则a＝________.
解析：(1)∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴当a＝0时，a＋b的值为1,2,6；当a＝2时，a＋b的值为3,4,8；当a＝5时，a＋b的值为6,7,11，
∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，∴P＋Q中有8个元素． (2)∵－3∈A，
∴－3＝a－2或－3＝2a2＋5a. 3∴a＝－1或a＝－.
2
当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3， 与元素互异性矛盾，应舍去．
37
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3.
223
∴a＝－满足条件．
23
答案：(1)B (2)－
2
典题导入
[例2] (1)(2012·湖北高考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0 A．1 B．2 C．3 D．4 集合间的基本关系 (2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________. [自主解答] (1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2， ∴A＝{1,2}． 由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)由log2x≤2，得0 即A＝{x|0 由题悟法 1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系． 2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析． 以题试法 2．(文)(2012·郑州模拟)已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B?A，则实数m的值为( ) A．3 B．2 D．0或2或3 C．2或3 解析：选D 当m＝0时，B＝??A； ?6? 当m≠0时，由B＝?m??{2,3}可得 ?? 66 ＝2或＝3， mm解得m＝3或m＝2， 综上可得实数m＝0或2或3. (理)已知集合A＝{y|y＝－x2＋2x}，B＝{x||x－m|<2 013}，若A∩B＝A，则m的取值范围是( ) A．[－2 012,2 013] C．[－2 013,2 011] B．(－2 012,2 013) D．(－2 013,2 011) 解析：选B 集合A表示函数y＝－x2＋2x的值域，由t＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，可得0≤y≤1，故A＝[0,1]． 集合B是不等式|x－m|<2 013的解集，解之得m－2 013 因为A∩B＝A，所以A?B. 如图，由数轴可得
2014届高考数学一轮复习教学案集合（含解析）
