2020年北京市昌平区高三二模试卷 数 学 2020.6
（满分150分，考试时间 120分钟）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A?x?2?x?1,B???2,?1,0,1,2?，则集合AIB? （A）{0} （B）{?1，0} （C）{0,1}
（D）{?1,0,1}
??，2)，则实数a? （2）在复平面内，复数i(i?a)对应的点的坐标为(?1（A）1 （B）?1 （C）2 （D）?2 （3）在?x?2?的展开式中，x2的系数为
（A）?40 （B） 40 （C）?80 （D）80 （4）已知向量a?(t,1)，b?(1,2).若a?b，则实数t的值为 （A）?2 （B）2 （C）?511 （D） 22（5）设a?2,b?()0.312?0.5,c?ln2，则
（A）c?b?a （B）c?a?b （C）a?b?c （D）b?a?c （6）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面
2积中，最大的是
22主视图（A）4 （C）26
（B）8 （D）46
2左视图俯视图 第 1 页 共 18 页
y2?1的一条渐近线y?kx(k?0)上一点，F是双曲线C（7）已知点P是双曲线C:x?42的右焦点，若△OPF的面积为5，则点P的横坐标为 ．
（A）?5 （B）5 （C）?25 （D）25 π2π（8）已知函数f(x)?sin?x(??0)，则“函数f(x)在[,]上单调递增”是“0???2”的
63（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）点P在函数y?ex的图象上.若满足到直线y?x?a的距离为2的点P有且仅有3个，则实数a的值为
（A）22 （B）23 （C）3 （D）4 （10）一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分.规定正确的画√，错误的画╳.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则m的值为
题号 1 学生 甲 乙 丙 丁 ╳ ╳ √ ╳ 2 3 4 5 6 7 8 得分 √ ╳ ╳ √ ╳ √ ╳ ╳ √ √ ╳ √ ╳ √ √ √ ╳ ╳ √ ╳ √ ╳ √ √ ╳ √ ╳ √ 30 25 25 m （A）35 （B）30 （C）25 （D）20
第二部分（非选择题 共110分）
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二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）已知a?1，则a+4的最小值为_________ . a?1（12）设?an?是等差数列，且a1?3，an?1?an?2，则数列?an?的前n项和Sn? ．
（13）已知点M在抛物线y?4x上，若以点M为圆心的圆与x轴和其准线l都相切，则点M到其顶点O的距离为__ .
（14） 在平面直角坐标系xOy中，角?与角?均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，点M(x,?1)在角?的终边上.若sin??21， 则sin??________ ；x?_____ . 3（15）曲线C:
(x?1)2?y2?(x?1)2?y2?3,点P在曲线C上．给出下列三个结论：
①曲线C关于y轴对称；
②曲线C上的点的横坐标的取值范围是[?2,2]；
③若A(?1,0),B(1,0)，则存在点P,使△PAB的面积大于
3. 2其中，所有正确结论的序号是________．
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题14分）
在?ABC中，3acosB?bsinA. （Ⅰ）求?B；
（Ⅱ）若b?2，c?2a,求?ABC的面积.
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(17)（本小题14分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，PA?AD?CD?2，BC?3，
PC?23，E为PB中点，________ ，求证：四边形ABCD是直角梯形，并求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.
从①CD?BC；②BC//平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答； 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
（18）（本小题14分）
为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2,3)，[3,4)，[4,5)，L，[8,9)，[9,10)（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）.
频率/组距0.32PEADCBa0.180.10.050.030.0202345678910小时/天
（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5,6)的概率；
（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主
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学习和锻炼身体的总时间在[2,3)和[8,9）的人中任选3人，求其中在[8,9)的人数X的分布列和数学期望；
（III）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）
（19）（本小题15分）
x2y25已知椭圆M:2?2?1(a?b?0)的离心率为，椭圆M与y轴交于A,B两点(A在
5ab下方)，且|AB|?4．过点G(0,1)的直线l与椭圆M交于C,D两点（不与A重合）． （Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）证明：直线AC的斜率与直线AD的斜率乘积为定值．
（20）（本小题14分） 已知函数f(x)?13x?ax?a,a?R. 3（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(0，1)处的切线方程；
（II）求函数y?f(x)的单调区间；
（III）当x?(0,2)时，比较f(x)与?|1?a|的大小.
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2020年北京市昌平区高三数学二模试卷及参考答案
