北京大学数学系《高等代数》考研配套2024考研真
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第一部分 北大考研真题各题型
第1章 多项式
一、判断题
1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中京大学研]
【答案】对查看答案
【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中
α1，α2，β1，β2为有理数，故
a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈P ab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P
又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β
4≠0，有
．（ ）[南
综上所述得P为数域．
2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f?（x）的k重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（ ）[南京大学研]
【答案】错查看答案
【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这里f（a）＝0，并且
f?（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f?（x）的k重根（k≥1）．
3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（ ）[南京大学研]
【答案】对查看答案
【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因
判别法知，它在有理数域上不可约． 二、计算题
1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研]
解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则
（1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4
所以x＋2是f（x）的三重因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2．
（2）若p≠4，则继续辗转相除，即
当p＝－5时，有（f（x），f′（x））＝x－1
即x－1是f（x）的二重因式，再用（x－1）2除f（x）得商式x＋8．故 f（x）＝x3＋bx2－15x＋8＝（x－1）2（x＋8） 这时f（x）的三个根为1，1，－8．
2．假设f1（x）与f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，且x4＋x2＋1整除f1（x3）＋x4f2（x3），试求f1（x）与f2（x）的最大公因式．［上海交通大学研］
解：设6次单位根分别为
由于x6－1＝（x2）3－1＝（x2－1）（x4＋x2＋1），所以ε1，ε2，ε4，ε5是x4＋x2＋1的4个根.
由于ε13＝ε53＝－1，且x4＋x2＋1∣f1（x3）＋x4f2（x3），所以，分别将ε1，ε5代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得
从而f1（－1）＝f2（－1）＝0
即x＋1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．
同理，将ε2，ε4代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得f1（1）＝f2（1）＝0，即x－1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．
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