南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校
2020届高三年级第四次模拟考试
数学Ⅰ
参考公式：柱体的体积V?Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高；
1锥体的体积V?Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高；
3圆锥的侧面积S??rl，其中r为圆锥的底面半径，l为圆锥的母线． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．已知集合A??x|0?x?2?，集合B???1,0,1,2?，则AB?________．
2．已知复数z?1?2i（i为虚数单位），则z2的实部为________．
3．某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比为9:8:8，现用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为100的样本，则应从高三年级抽取的学生的人数为________．
4．运行右图所示的伪代码，输出的T的值为________．
12??5．从集合?2,3,,?中取两个不同的数a，b，则logab?0的概率为________．
23??y26．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x?2?1?b?0?的一个焦点到一条渐
b近线的距离为3，则此双曲线的离心率为________．
??47????7．已知cos??sin?????，则sin????的值为________．
6?56???S?S1018．设正项等比数列?an?的前n项和为Sn，且20?10，则数列?an?的公
S30?S2032比为________．
9．在平面直角坐标系xOy中，过直线y?2x上一点P作圆C:?x?3???y?1??1的切线PA，PB，其中A，B为切点．若直线PA，PB关于直线y?2x对称，则线段PA的长度为________．
10．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1,S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2,S2，若
V13S?，则1的值为________． V2?S22211．已知函数f?x?是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f?x??x2?5x，则不等式f?x?2??f?x?的解集为________．
2??1??x?1?,0?x?2,12．已知函数f?x???若对于正数knn?N*，直线
x?2??f?x?2?,??2y?knx与函数y?f?x?的图象恰有2n?1个不同的交点，则数列?kn?的前n项
和为________．
13．设H为△ABC的垂心（三角形三条高的交点），且3HA?4HB?5HC?0，则cos?AHB的值为________． 14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其接圆半径为R．已知c?1，且△ABC的面积S?2R2sin?B?A?sin?B?A?，则a的最小值为________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB∥CD，AB1?BC，且AA1?AB。 （1）求证：AB∥平面D1DCC1； （2）求证：AB⊥平面A1BC．
16．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA?（1）若△ABC的面积为3，求AB?AC的值；
B?B???（2）设m??2sin,1?,n??cosB,cos?，且m∥n，求sin?B?2C?的值．
2?2???17．（本小题满分14分）
如图，海岸公路MN的北方有一个小岛A（大小忽略不计）盛产海产品，在公路
3． 5MN的B处有一个海产品集散中心，点C在B的正西方向10km处，tan?ABC?3，4，计划开辟一条运输线将小岛的海产品运送到集散中心．现有两种4方案：①沿线段AB开辟海上航线：②在海岸公路MN上选一点P建一个码头，先从海上运到码头，再公路MN运送到集散中心．已知海上运输、岸上运输费用分别为400元/km、200元/km． （1）求方案①的运输费用；
（2）请确定P点的位置，使得按方案②运送时运输费用最低？
?ACM??
18．（本小题满分16分）
3?x2y2?在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2?2?1?a?b?0?经过??1,?，且右焦
2?ab?点坐标为?1,0?．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设A，B为椭圆的左，右顶点，C为椭圆的上顶点，P为椭圆上任意一点（异于A，B两点），直线AC与直线BP相交于点M，直线BC与直线AP相交于点N，求证：MC?NC． 19．（本小题满分16分） 已知函数f?x??lnx?a?x?1?a?R?． x?1（1）若x?2是函数f?x?的极值点，求a的值；
（2）令g?x???x?1??f?x?，若对任意x?e，有g?x??0恒成立，求a的取值范围；
（3）设m，n为实数，且m?n，求证：e20．（本小题满分16分）
若存在常数m?R，使对任意的n?N*，都有an?1?man，则称数列?an?为Z?m?数列．
（1）已知?an?是公差为2的等差数列，其前n项和为Sn．若Sn是Z?1?数列，求a1的取值范围；
2（2）已知数列?bn?的各项均为正数，记数列?bn?的前n项和为Rn，数列bn的
m?n2em?enem?en． ??m?n2??2?4Rn,n?N*． 前n项和为Tn，且3Tn?Rn
南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校2020届高三年级第四次模拟考试
