自主招生数学试题例讲

由天下分享时间：2024/9/25 14:27:34 加入收藏我要投稿点赞

高校自主招生数学问题讲练

全国重点大学自主招生考试是自2006年开始的一个新的考试门类，目前，这种考试有三大联盟：即，以清华为首的七校联盟，简称“华约”（清华、上海交大、西安交大、南京大学、浙江大学、中国科大、中国人大）；以北大为首的十三校联盟，简称“北约”（北大、北航、北师大、复旦、南开、武大、厦大、川大、山东大学、兰州大学、中山大学、华中科大、香港大学）（注：复旦、南开两校今年起退出北约单独干）；以及以北京理工大学为首的九校联盟，简称“卓越联盟”（北理工、大连理工、华南理工、天津大学、同济大学、重庆大学、东南大学、西北工大、哈尔滨工大）．

其试题特点是注重基础，知识全面，强化应用，突出能力，灵活多变，并与大学的知识内容及思想方法有所衔接，部分试题具有一定的高等数学以及数学竞赛背景．

自2013年起，自主招生试题已由各有关高校自行命题，改为由国家考试中心命题，目前还没有制定考试大纲，今年仍然按三个联盟分别命题，明年，或许又将合为一卷，这正如三国演义开篇所说：“话说天下大势，分久必合，合久必分”．

自主招生试题，包括中学所涉及的全部知识（而不单是按某个省的教材），内容可能会有某些超越．

试题例讲

1、对于数列?an?：1,3,3,3,5,5,5,5,5,L,即正奇数k有k个，且按自小到大排列，是

否存在整数r,s,t，使得对于任意正整数n，都有an?r?n?s??t恒成立？

??（[x]表示不超过x的最大整数）（上海交大）

解：对正整数分段，第一段1个数，第二段3个数，第三段5个数，…，第n段2n?1个数，而1?3?5?L?(2n?1)?n，

于是当k?n?(k?1)时，an的取值为第k?1个奇数，即此时，an?2k?1，由于

222k2?n?1?(k?1)2，所以k??n?1?，据此，an?2?n?1??1，将此与题目要求相

????比较，可知r?2,s??1,t?1即是适合条件的整数；

（注：93年南昌市赛及06年江西预赛题：数列?xn?: 1,3,3,3,5,5,5,5,5,L由全体正奇数自小到大排列而成，并且每个奇数k连续出现k次，k?1,3,5,L，如果这个数列的通项公式为xn?a?bn?c??d，（其中?x?表示x的整数部分，a,b,c,d为整数），则

??a?b?c?d? ．

（答案：3）.简解：由xk2?1?xk2?2?L?x?k?1?2?2k?1，即当 k2?1?n??k?1?时，

2xn?2k?1 k??n?1?，所以 xn?2?n?1??1，于是，

????． ?a,b,c,d???2,1,?1,1?,a?b?c?d?3）

同类问题：数列数列?an?：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,L,即正整数k有k个，自小到大排列而成，求an及Sn．

解：先对正整数分段，第一段1个数，第二段2个数，第三段3个数，…，第k段有k个数，而前k段项数和为1?2?3?L?k?k(k?1)k(k?1)，前k?1段项数和为， 22k(k?1)k(k?1)如果an?k，那么，于是，当n给定时，由此式解得， ?1?n?22?1?8n?11?8n?71?8n?7?1?8n?1?k???1，于是k等于，注意0?2222?1?8n?7??1?8n?7?1?8n?7的整数部分，即k??，也就是a????， n222????由于数列第k段由k个k组成，其和为k，因此数列前k?1段的总和为

2S12k(k?1)?12?22?L?(k?1)2?k(k?1)(2k?1)；

6由于an?k位于第k段的第n?1k(k?1)个数，而这些项全是k，因此， 2Sn?S11k(k?1)(2k?1)?1?????n?k(k?1)?k???n?k(k?1)?k k(k?1)262????2?1?8n?7?1?nk?k(k2?1)；其中k???．

26??2、已知一无穷等差数列中有三项：13,25,41，求证：2009为数列中的一项．

（2009北大）

证：注意到，一个无穷等差数列任意截去前面一段后仍然是无穷等差数列，故可设此数列为?an?，且a1?13,am?25,an?41，设公差为d，则

d?25?1341?1312281228,d??1,n??1，所以,皆为整数，而，所以m?m?1n?1dddd28?12?2009?13?1996?13?(12?3?28?70)?13???3??70?d

d?d??13?(3m?70n?73)d，即2009是等差数列?an?的第

3m?70n?73?1?3m?70n?72项．

（2009清华大学理科） 3、写出所有公差为8的三项等差质数数列，并证明之．解：设三数为a,a?8,a?16，其中a为质数；考虑模3的余数，

若a?1(mod3)，则a?8?9?0(mod3)，即3a?8，故a?8是合数，不满足条件；若a?2(mod3)，则a?16?18?0(mod3)，即3a?16，故a?16是合数，不满足条件；故只有a?0(mod3)，因a为质数，只有a?3，于是只有唯一解，即三数为3,11,19．

4、设5?1的整数部分为A，小数部分为B；(1)、求出A,B； 5?11（2009清华大学理科） AB的值；(3)、求lim(1?B?B2?L?B2)．

n??2(2)、求A2?B2?解：(1)、因为5?1?5?1?5?14?2?3?5?3?5，所以，A?????2， 2?2?B?3?55?1?2?； 222?5?1?115?1222??2??5； (2)、A?B?AB?2????2?222??由于B?5?113?5?1，则lim(1?B?B2?L?Bn)??．

n??21?B25、已知a2?a?1?0,b2?b?1?0,a?b，设数列?an?,?bn?满足：a1?1,a2?b，

an?1?an?an?1?0(n?2)，bn?an?1?aan，

(1)、证明数列?bn?是等比数列；(2)、求数列?an?的通项；

(3)、设c1?c2?1,cn?2?cn?1?cn，证明：当n?3时，有(?1)n(cn?2a?cnb)?bn?1．

（华南理工大学）

解：(1)、由条件知，a,b是方程x?x?1?0的两根，由a?b，所以a?2?1?5， 2b??1?51?5,bn?an?1?aan?an?1?an；又由条件an?1??an?an?1(n?2)， 221?5an，得 2所以，由bn?an?1?bn?an?1?5?15?15?1an,bn?1?an?an?1?an?(an?1?an) 222?bn?15?1?5?1?5?15?1，即，且b1?a2?aa1?b?a?5， a?a?b??n?1n?n?2?22bn2??5?1

的等比数列； 2

k?1所以?bn?是首项为5，公比为?5?1?(2)、据(1)知，bk?5???2?????5?1?5?1ak?5??即ak?1??2??2??ak?1rk?1k，ak?1?aak?bk，

k?1?5?1? ，两边同除?????2??k?1，（暂记?5?1?r）得 2?5?3?ak?k?5??2??，令k?1,2,L,n?1，并求和得， r??n?1n?1n?1????????an5?15?35?1ana15?1?5?3??a?，所以，则 ??1??????nn?2??2??；??r2rnr2??2????????(3)、利用数学归纳法，

n?3时，(?1)3(c1a?c3b)???a?(c1?c2)b???(a?2b)?3?5?b2，结论成立； 2kk?1若n?k(k?3)时结论成立，即有(?1)(ck?2a?ckb)?b，则当n?k?1时，

(?1)k?1(ck?1a?ck?1b)?(?1)k?1?ck?1a?(ck?ck?1)b??(?1)k?1?ck?1(a?b)?ckb?

?(?1)k?1??ck?1?ckb??(?1)k?1?3?5??ck?2?ck(b?1)??(?1)???ck?2?2ck??

??k?(?1)k5?1?5?15?1?kk?1k?c?c?(?1)(ca?cb)b?b?b?b ??k?2k?k?2k?2?22?即n?k?1时，结论也成立，于是结论得证．

6、n个圆至多将平面分成多少个部分？n个球至多将空间分成多少个部分？（2009南京大学）

解：设n个两两相交的圆C1,C2,L,Cn将平面分成f(n)部分，现加入圆Cn?1，它与前

n个圆都相交，共得n对交点，这n对交点把Cn?1的圆周分成2n段弧，每段弧穿过一个原

先的区域，就将该区域一分为二（即增加一个区域），即增加圆Cn?1后，新增加的区域数为

2n，所以，f(n?1)?f(n)?2n，即f(n?1)?f(n)?2n，又f(1)?2，

于是f(n)?n?n?2．

再设n个两两相交的球C1,C2,L,Cn将平面分成?(n)部分，现加入球Cn?1，它与前n个球都相交，这n个球在Cn?1的球面上交出n个圆，据上述结论，球面被分成 f(n)?n?n?222n(n2?3n+8)个区域，则?(n?1)??(n)?(n?n?2)，且?(1)?2，解得?(n)?．

32n117、数列?an?满足：???；