沿线段BA运动到点A为止(不考虑D与B、A重合的情况)，运动速度为2 cm/s，过点D作DE∥BC交ACBE，设动点D运动的时间为x(s)，AE的长为y(cm)．
关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； 为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？
第2题图
6
于点E，连接(1)求y(2)当x
参考答案
基础过关
1. A 2. D
1
3. C 【解析】∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE＝8，在Rt△BED中，∵∠B＝30°，BE＝8，∴ED＝BE
2＝4.
111
4. C 【解析】如解图，过点D作DE⊥AB于点E，∵DC＝AD，∴DC＝AC，∵AC＝8，∴DC＝×8
344＝2.∵∠C＝90°，∴BC⊥CD，又∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝2.
第4题解图
5. B 【解析】如解图，过点B作BD⊥OA于点D，∵△OAB为等边三角形，边长为2，∴∠BOA＝60°，OA＝OB＝2.∴OD＝1，BD＝OB· sin60°＝2×
3
＝3.∴点B的坐标为(1，3)． 2
第5题解图
1
6. C 【解析】∵AC＝CB，∠C＝40°，∴∠BAC＝∠B＝(180°－40°)＝70°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝
21
∠AED＝(180°－70°)＝55°，∵GH∥DE，∴∠GAD＝∠ADE＝55°.
2
7. D 【解析】设∠O＝x，∵OC＝CD，∴∠CDO＝∠O＝x.∴∠ECD＝2∠O＝2x.∵CD＝DE，∴∠CED＝∠ECD＝2x，∵∠BDE＝75°，∠BDE＝∠O＋∠CED，∴3x＝75°，解得x＝25°.∴∠ECD＝∠CED＝50°，∴∠CDE＝180°－2∠ECD＝80°.
5
8. D 【解析】∵cos∠BDC＝，∴设DC＝5x，BD＝7x，又∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AD＝
7
7
DB＝7x，又∵AC＝12，∴5x＋7x＝12，解得x＝1，在Rt△BDC中，CD＝5，DB＝7，BC＝BD2－CD2＝72－52＝26.
1
9. C 【解析】如解图，连接DF，∵CD⊥AB，F为边AC的中点，∴DF＝AC＝CF，又∵CD＝CF，
2∴CD＝DF＝CF，∴△CDF是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵∠B＝50°，∴∠BCD＋∠BDC＝130°，∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，∴∠DCE＋∠CDE＝65°.∴∠CED＝115°，∴∠ACD＋∠CED＝60°＋115°＝175°.
第9题解图
10. 23 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵CD＝AC，∴∠CAD＝AB2∠D，∵∠ACB＝∠CAD＋∠D＝60°，∴∠CAD＝∠D＝30°，∴∠BAD＝90°，∴AD＝＝＝23.
tan30°3
3
11. 6＋43 【解析】∵底角为30°，腰长为23，∴底边的一半为3，∴底为6，则周长为6＋23＋23＝6＋43.
12. 4 【解析】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，∴AB＝2MC，∵E、F分别为MB、BC的中点，∴EF是△CMB的中位线．又∵EF＝1，∴MC＝2EF＝2，∴AB＝2MC＝4.
13. 2 【解析】如解图，过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝x，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝x，AC＝2x，∴AB＝2AC＝2x，在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝（2x）2－x2＝3x，∴BC＝BD＋CD＝3x＋x＝(3＋1)x＝6＋2＝2(3＋1)，解得x＝2，∴AC＝2.
第13题解图
14. (1)解：△BDE是等腰三角形，理由如下： ∵△ABC是等边三角形，BD是高， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°.
8
又∵CE＝CD，
1
∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°.
2∴∠DBC＝∠DEC. ∴DB＝DE.
∴△DBE是等腰三角形； (2)证明：∵AF∥BE， ∴∠AFD＝∠CED， ∵BD是△ABC的高， ∴AD＝DC， ∵∠ADF＝∠CDE， 在△AFD和△CED中， ∠AFD＝∠CED，??
?∠ADF＝∠CDE， ??AD＝CD，
∴△AFD≌△CED(AAS)，
∴AF＝CE＝CD＝AD，DF＝DE＝BD， ∵∠FDB＝∠DBE＋∠E＝60°， ∴△BDF是等边三角形， ∴BF＝BD， 又∵AF＝AD， ∴AB垂直平分DF.
能力提升
1. D 【解析】①∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；②∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，
9
1
∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴BD＝AD，∴△ABD
2是等腰三角形；③在△BCD中，∵∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝180°－36°－72°＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BD＝BC，∴△BCD是等腰三角形；④∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴△BDE是等腰三角形；⑤∵∠BED＝(180°－36°)÷2＝72°，∴∠ADE＝∠BED－∠A＝72°－36°＝36°，∴∠A＝∠ADE，∴DE＝AE，∴△ADE是等腰三角形．综上可得，图中的等腰三角形有5个．
2. 6－2 【解析】如解图，过点A作AF⊥BC于点F，∵AB＝AC，∴BF＝CF.在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∴BC＝22.∴AF＝BF＝CF＝2.∵两个三角尺大小相同，∴AD＝BC＝22，在Rt△ADF中，FD＝AD2－AF2＝（22）2－（2）2＝6.∴CD＝FD－FC＝6－2.
第2题解图
3. 3＋1 【解析】当点D为AB的中点时，CE＋CD的值最小．∵∠BCA＝90°，∠A＝30°，AC＝3，∴AB＝2，BC＝1，∠DBC＝60°，当D为AB的中点时，CD＝AD＝BD＝1，∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∵BE1
＝AD＝1，∴DE＝2，∴∠BEC＝∠BCE＝∠DBC＝30°，∵∠BCD＋∠DCA＝90°，∠DCA＝30°，∴∠BCD
2＝60°，∴∠ECD＝∠BCE＋∠BCD＝30°＋60°＝90°，在Rt△DCE中，∵DE＝BD＋BE＝2，∠DEC＝30°，∴CE＝3，∴CE＋CD＝3＋1.
满分冲关
1. 14＋162 【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于H，交EF于G，过点D作DM⊥AB于M，∵三角板ABC是含45°角的直角三角板，∴△ABC关于AH所在直线对称，又∵外框和内框之间的距离均为2 cm，∴点D在AH上，且DM＝GH＝2 cm，∠MAD＝45°，∴AD＝2MD＝2 cm，∴DG＝AH－AD－GH＝
2
AB－2－2＝(42－2) cm，∴EF＝2DG＝(82－4) cm，∴S2
阴影
11
＝S△ABC－S△DEF＝AB·AC－
22
11
EF·DG＝×10×10－(82－4)·(42－2)＝(14＋162)cm2.
22
10
2020年中考数学一轮专项复习25 等腰三角形与直角三角形(含解析)
