一元二次方程与一元二次不等式的解法分析及例题

一元二次方程、二次函数与一元二次不等式总结分析及例题

(一)一元二次方程的一般形式：ax2?bx?c?0?a?0? 其中a,b,c为常数，x为未知数。根的判别式：??b?4ac 一元二次方程根的个数与根的判别式的关系： ??0时，方程①无实根；

??0时，方程①有且只有一个实根，或者说方程①有两个相等的实根；x??2b 2a?b?b2?4ac ??0时，方程①有两个不相等的实根。x1,2?

2ab?4ac?b2?y?ax?bx?c?a?0??y?a?x???（二）二次函数的一般形式：形如2a?4a ?22?b4ac?b2?b?x??其中a,b,c为常数，x为自变量。顶点坐标为P?，其中直线为?,?2a?2a4a??对称轴，

1、（1）a?0时，函数y?ax?bx?c的图象开口向下，函数y?ax?bx?c在x??22b2a取到最大值，即ymax4ac?b24ac?b2?，对任意x?R,y?.

4a4ab2a22 （2）a?0时，函数y?ax?bx?c的图象开口向上，函数y?ax?bx?c在x??取到最小值，即ymin24ac?b24ac?b2?，对任意x?R,y?.

4a4a2、二次函数y?ax?bx?c?a?0?与x轴交点个数的判断：

??0时，函数y?ax2?bx?c?a?0?与x轴无交点；

??0时，函数y?ax2?bx?c?a?0?与x轴相切，有且只有一个交点； ??0时，函数y?ax2?bx?c?a?0?与x轴有两个交点。

3、二次函数图象的基本元素：开口方向（即首项系数a的正负）、对称轴、?.

2（三）一元二次不等式的概念：形如ax?bx?c?0?a?0?其中连接ax?bx?c与0的

2?，?,?或?. 不等号可以是?，

（四）三个两次之间的关系

一元二次方程、一元二次不等式、二次函数 三个二次 △ ??0 ??0 ??0 y?ax2?bx?c ?a?0? 图 象 x1= x2 x1 x2 ax2?bx?c?0 x?x1或x?x2 x1?x2??b 2a 无 解 ?a?0?根 ax?bx?c?02 ?a?0?解集 ax2?bx?c?0?xx?x或x?x? 12?b?xx???? 2a?? ? R ? ?a?0?解集 ?xx1?x?x2? 基本步骤：化正-----计算?--------求根--------写解集（大于取两边，小于取中间）

【典型例题】

【类型一】一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的解法

2【方法一】求根公式法

?b?b2?4ac步骤：①计算?；②若??0，则方程无实根；若??0，利用求根公式x1,2?.

2a【例1】求解下列方程.

（1）x?4x?4?0 （2）2x?x?1?0

【练习】解下列方程.

（1）2x?5x?3?0 （2）x?6x?8

【方法二】十字相乘法

2222利用十字相乘法求解方程ax2?bx?c?0?a?0?的前提条件是：??0，也就是保证方程

ax2?bx?c?0?a?0?必须有实根.

十字分解依据：对于方程ax2?bx?c?0?a?0?而言，a,b,c均为整数。当ac?0时，将

ac分解为两个约数之和为b；当ac?0时，将ac分解为两个约数之差为b或?b.

【例2】求解下列方程

（1）x?6x?8?0 （2）x?2x?15?0

【练习】解下列方程

（1）x?8x?20 （2）2x?5x?2?0

【类型二】二次函数最值的求法 【方法一】公式法

2222b4ac?b2①a?0时，函数y?ax?bx?c在x??取到最大值，即ymax?，对任意

2a4a24ac?b2x?R,y?.

4ab4ac?b2②a?0时，函数y?ax?bx?c在x??取到最小值，即ymin?，对任意

2a4a24ac?b2x?R,y?.

4a【方法二】配方法

22??bbbb??????y?ax2?bx?c?a?x2?x??c?a?x2?2??x?????c???

a2a???2a???2a????b?4ac?b2? ?a?x? ??2a4a??【例3】求下列函数的最值

（1）y??x?4x?8 （2）y?2x?3x?5

【类型三】一元二次不等式的解法

222【例4】解下列不等式

（1）3x?7x?2?0； （2）?6x?x?2?0

【练习】（1）不等式4x?1?4x的解集是 . （2）不等式?2x?1??x?2??7的解集是 . （3）不等式x?9?x??0的解集是 .

【类型四】分式不等式的解法

解分式不等式的基本思路是将其转化为整式不等式（组）：（有分母就要考虑分母不等于零，有根式就考虑大于等于零）

222f(x)f(x)?0?f?x??g?x??0, ?0?f?x??g?x??0且g?x??0, g(x)g(x)f(x)f(x)?0?f?x??g?x??0, ?0?f?x??g?x??0且g?x??0, g(x)g(x)【例5】解下列不等式 （1） （3）

12?x?1； （2）?0； x3?2xx?11?2； （4）?0 x39?x2?x1.解下列方程

（1）x?6x??8 （2）5x?11x?2?0

（3）3x?7x?2?0 （4）x?x?6?0

2.不等式3x?16x?16?0的解集是 . 3.不等式

222221?2x?1的解集是 . x?124.不等式?x?5x?7?0的解集是 . 5.不等式4x?4x?1?0的解集是 . 6.解下列不等式或方程

（1）2x?x?15?0 ； （2）6x?6x?1?0；

（3）?3x?2x?8?0 ； （4）x?4x?5?0； （5）

227.已知集合A?xx?6x?16?0，集合B?yy??2x?4x?11，则下列式子中正确

22222x2?3； （6）?5； x?1x????的是 （ ）

A.A?B B.B?A C.A?B D.AB