12、 几何证明选讲
【考纲要求】 几何证明选讲
①了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理。 ②会证明并应用圆周角定理、圆的切线判定定理与性质定理。
③会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。 ④了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）。 ⑤了解下面的定理：
定理：在空间中，取直线l为轴，直线l/与l相交于点O，其夹角为?，l/围绕l旋转得到以O为定点，l/为母线的圆锥面，任取平面?，若它与轴l相交为?（?∥l，记?＝0），则：?＞?，平面?与圆锥的交线为椭圆；?＝?，平面?与圆锥的交线为抛物线；?＜?，平面?与圆锥的交线为双曲线。
⑥会利用丹迪林（Dandeoin）双球证明上述定理第一种情形：?＞?，平面?与圆锥的交线为椭圆。 ⑦会证明以下结果：
在⑥中，一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行。记这个圆所在的平面为?/。
如果平面?与平面?/的交线为m，在⑤第一种情形椭圆上任取点A，该丹迪林球与平面?的切点为F，则点A与点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e(称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率)。 ⑧了解定理⑤第三种情形的证明，了解当?无限接近?时，平面?的极限结果。 （对于⑤——⑧新课程初期，高考暂不考查）
12.1 相似三角形的判定与有关性质
【学习目标】
了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理。
【知识网络】
相似形判断与证明，相似的应用。
【知识学习】
1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。 AAD ADED DEBEA EB FC BCBC FC
特例：平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推论2：经过梯形一腰的中点与底边平行的直线平分另一腰。 平行线分线段成比例定理推广到空间有：
如图,直线l1,l2被三个平行平面?,?,?所截,直线l1与它们的交点分别为A,B,C,直
ABDE线l2分别为D,E,F，则＝
BCDF2．三角形相似的判定与性质：
⑴三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似，记作△ABC∽△ A′B′C′。
⑵两个相似三角形对应边的比称为这两个相似三角形的相似比，当两个相似三角形的相似比等于1时， 这两个三角形全等。
⑶相似三角形的判定定理:
①两角对应相等的两个三角形相似。
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 ③三边对应成比例的两个三角形相似。
推论： 如果一条直线与三角形的一条边平行，且与三角形另两条边相交，则截得的三角形与原三角形相似。
⑷相似三角形的性质定理： 相似三角形的对应线段（如高、中线、角平分线）的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
3．直角三角形射影定理：直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边的在斜边上射影的乘积。
【典型例题】
例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于
AEAC3F，求证：＝。 3AFBC
例2：如图，在正方形ABCD中，M为AB上一点，N为BC上一点，且BM=BN， BP⊥MC于点P，求证：（1）△BPN∽△CPD；（2）DP⊥NP。
DCA
EF
MP
AB D BCN
【课内练习】
a1．在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB?AB，AB=AD=a，CD=，点E、F分别为线段AB、AD
2的中点，则EF＝ 。
2．如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD，求证：AB∥CD。
12.3 直线与圆的位置关系
DCBA【学习目标】
会证明并应用圆周角定理、圆的切线判定定理与性质定理。会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。
【知识网络】
与圆相关的定理及其应用。
【知识学习】
1．圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半。
推论1：同弧（或等弧）上的圆周角相等。同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
推论2：半圆（或直径）上的圆周角等于90°。反之， 90°的圆周角所对的弦为直径。
2．圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它
的内对角。
圆内接四边形判定定理：对角互补的四边形内接于圆。一个四边形内接于圆也称这个四边形的顶点四点共圆。
定理：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相CC等，则此两点与线段两个端点共圆。特别的，DD对定线段张角为直角的点共圆。
O
3．切线的判定与性质及切线长定理
BA切线的判定定理：过半径外端且与这条半径垂直AB的
直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
4．弦切角：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫圆的弦切角。 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
5．相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成两段的积相等。
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点两条线段的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的等比中项。
【典型例题】 例1 如图，D为△ABC的边BC上一点，⊙O1经过点B、D，交AB于另一点E，⊙O2 经过点C、D，交AC于另一点F，⊙O1与⊙O2 交于点G，求证：（1）∠BAC+∠EGF＝180°；（2）∠EAG＝∠EFG。
A AB
FEOB1DGO2C
BOPO1AEO
C
例2 如图，⊙O和⊙O1外切于点P，一条外公切线切两圆于点A、B，求证：∠APB＝90°。
例3 如图：点D是⊙O的半径OA上一点,经过点D作弦BC⊥AO,过C引⊙O的切线与OA的延长线交于点E.求证：CA平分∠BCE。 DPA
M
CM
TODO1O
F ABE CB
例4 如图，AB是⊙O的直径，M为圆上一点，ME⊥AB，垂足为E，点C为⊙O上任
2一点，AC、EM交于点D，BC交DE于点F。求证：EM?ED?EF。
O
例5 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点，且与BC相切于点B，与AC交于点D。若BC＝5－1，求AC、DC的长。
例6 如图，两圆内切于点T，点P为外圆⊙O上任意一点，PM与内圆⊙O1切于点M，求证：PT：PM为定值。
【课内练习】
1．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若
PB1PC1BC=,=,则的值为 。 PA2PD3AD
DAOBC2．AB，CD是半径为a的圆O的弦，它们相交于AB的中点P，PD=则CP＝ 。
2a，∠OAP=30°，3
12几何证明选讲
