全国二卷2016年------2019年高考数学选做题
23、(本小题满分10分)[选修4–4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
?x=tcosα
(2)直线l的参数方程是?y=tsinα(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=10,
?
求l的斜率.
解:(1)整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0,
由ρ2=x2+y2、ρcosθ=x、ρsinθ=y可知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0. (2)记直线的斜率为k,则直线的方程为kx–y=0, |–6k|
由垂径定理及点到直线距离公式知:=
1+k2515k2=,则k=±. 33
11
24、(本小题满分10分)[选修4–5:不等式选讲]已知函数f(x)=|x–2|+|x+2|,M为不等式f(x)<2的解集. (1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
10236k29025–(),即=,整理得
21+k24
1111111
解:(1)当x<–时,f(x)=–x–x–=–2x,若–1 2222222111 –x+x+=1<2恒成立;当x>时,f(x)=2x,若f(x)<2, 222得,M={x|–1 (2)当a,b∈(–1,1)时,有(a2–1)(b2–1)>0,即a2b2+1>a2+b2,则a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2,则(ab+1)2>(a+b)2,即|a+b|<|ab+1|, 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为?cos??4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|?|OP|?16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; ?(2)设点A的极坐标为(2,),点B在曲线C2上,求?OAB面积的最大值. 3?0?,P??,?? 解:⑴设M??0,则OM??0,|OP|??. ???0?16???0cos?0?4 ????0?解得??4cos?,化为直角坐标系方程为 ?x?2?2?y2?4.?x?0? ⑵连接AC,易知△AOC为正三角形. |OA|为定值. ∴当高最大时,S△AOB面积最大, 如图,过圆心C作AO垂线,交AO于H点 交圆C于B点, 此时S△AOB最大 Smax?1|AO|?|HB| 2?1|AO|?|HC|?|BC|? 2?3?2 23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知a?0,b?0,a3?b3?2,证明: (1)(a?b)(a3?b3)?4 (2)a?b?2. 解:⑴由柯西不等式得:?a?b??a当且仅当ab5?ba55?b≥5??a?a?b?b55?2?a3?b3??2?4 ,即a?b?1时取等号. ⑵∵a3?b3?2 ∴?a?b??a2?ab?b2??2 2∴?a?b????b??3ab??2 ???∴?a?b?3?3ab?a?b??2 ?a?b??2?ab∴ 3?a?b??a?b??2?ab≤?a?b?2由均值不等式可得:?2? 3?a?b???33?a?b??2≤?a?b?2∴?2? 3?a?b???3a?b?∴?a?b??2≤?4333 ∴1?a?b?3≤2 4∴a?b≤2 当且仅当a?b?1时等号成立. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分) ?x?2cosθ,xOyC在直角坐标系中,曲线的参数方程为?y?4sinθ(θ为参数),直线l?的参数方程为 ?x?1?tcosα,?(t为参数). y?2?tsinα?(1)求C和l的直角坐标方程; (2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率. x2y2?1. 解:(1)曲线C的直角坐标方程为?416当cos??0时,l的直角坐标方程为y?tan??x?2?tan?,
全国二卷选做题
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