全国二卷2016年------2019年高考数学选做题
23、(本小题满分10分)[选修4–4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)2+y2=25．
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
?x=tcosα
(2)直线l的参数方程是?y=tsinα(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|=10，
?
求l的斜率．
解：(1)整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0，
由ρ2=x2+y2、ρcosθ=x、ρsinθ=y可知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0． (2)记直线的斜率为k，则直线的方程为kx–y=0， |–6k|
由垂径定理及点到直线距离公式知：=
1+k2515k2=，则k=±． 33
11
24、(本小题满分10分)[选修4–5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x–2|+|x+2|，M为不等式f(x)<2的解集． (1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a+b|<|1+ab|．
10236k29025–()，即=，整理得
21+k24
1111111
解：(1)当x<–时，f(x)=–x–x–=–2x，若–1 2222222111 –x+x+=1<2恒成立；当x>时，f(x)=2x，若f(x)<2， 222得，M={x|–1 (2)当a，b∈(–1,1)时，有(a2–1)(b2–1)>0，即a2b2+1>a2+b2，则a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2，则(ab+1)2>(a+b)2，即|a+b|<|ab+1|， 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为?cos??4． （1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|?16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程； ?（2）设点A的极坐标为(2,)，点B在曲线C2上，求?OAB面积的最大值． 3?0?，P??，?? 解：⑴设M??0，则OM??0，|OP|??． ???0?16???0cos?0?4 ????0?解得??4cos?，化为直角坐标系方程为 ?x?2?2?y2?4．?x?0? ⑵连接AC，易知△AOC为正三角形． |OA|为定值． ∴当高最大时，S△AOB面积最大， 如图，过圆心C作AO垂线，交AO于H点 交圆C于B点， 此时S△AOB最大 Smax?1|AO|?|HB| 2?1|AO|?|HC|?|BC|? 2?3?2 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知a?0,b?0,a3?b3?2，证明： （1）(a?b)(a3?b3)?4 （2）a?b?2． 解：⑴由柯西不等式得：?a?b??a当且仅当ab5?ba55?b≥5??a?a?b?b55?2?a3?b3??2?4 ，即a?b?1时取等号． ⑵∵a3?b3?2 ∴?a?b??a2?ab?b2??2 2∴?a?b????b??3ab??2 ???∴?a?b?3?3ab?a?b??2 ?a?b??2?ab∴ 3?a?b??a?b??2?ab≤?a?b?2由均值不等式可得：?2? 3?a?b???33?a?b??2≤?a?b?2∴?2? 3?a?b???3a?b?∴?a?b??2≤?4333 ∴1?a?b?3≤2 4∴a?b≤2 当且仅当a?b?1时等号成立． 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分） ?x?2cosθ，xOyC在直角坐标系中，曲线的参数方程为?y?4sinθ（θ为参数），直线l?的参数方程为 ?x?1?tcosα，?（t为参数）． y?2?tsinα?（1）求C和l的直角坐标方程； （2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率． x2y2?1． 解：（1）曲线C的直角坐标方程为?416当cos??0时，l的直角坐标方程为y?tan??x?2?tan?，
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