《经济数学·微积分·定积分》知识点、
例题与习题答案
一、知识点
定积分的定义： 设函数f(x)在[a,b]上有界. 1. 划分
在[a,b]中任意插入n?1个分点a?x0?x1??xn?1?xn?b，
从而把区间[a,b]分成n个小区间?x0,x1?,?x1,x2?,,?xi?1,xi?,,?xn?1,xn?， 各小区间的长度记作?x1,?x2,,?xi,,?xn. 2. 近似
在小区间?xi?1,xi?上任取一点?i,计算f??i?与小区间长度?xi的乘积
f??i??xi.
3. 求和
对2所得的量进行求和得到积分和?f??i??xi
i?1n4. 逼近
记??max??x1,?x2,,?xn?,如果当??0时，积分和的极限总存在，且与闭区间[a,b]的分法和点?i的取法无关,那么称f(x)在[a,b]上可积，这个极限称为函数f(x)在[a,b]上的定积分，记作?af(x)dx,即
b?baf(x)dx?lim?f??i??xi
??0i?1n
如果上述极限不存在，则称f(x)在[a,b]上不可积.
对定积分的补充规定： (1)当a?b时,?af(x)dx?0 (2)当a?b时,
定积分的存在定理：
定理1 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则
f(x)在区间[a,b]上可积.
b?baf(x)dx???f(x)dx.
ba定理2 设函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点,则f(x)在区间[a,b]上可积.
定积分的性质： 性质1 性质2 性质3
??bab[f(x)dx?g(x)]??f(x)dx??g(x)dx.
aabbakf(x)dx?k?f(x)dxabb（k为常数）.
cb假设a?c?b，?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx.
不论a, b, c的相对位置如何，上式总成立. 性质4
?ba1?dx??dx?b?a
abb性质5 如果在区间[a,b]上f(x)?0，则?af(x)dx?0.(a?b). 推论⑴
如果在区间[a,b]上f(x)?g(x)，则?af(x)dx??ag(x)dx.(a?b). 推论⑵
bb
?baf(x)dx??|f(x)|dx.(a?b).
ab性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则m(b?a)??af(x)dx?M(b?a).
性质7（定积分中值定理） 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点?,使
?f(x)dx?f(?)(b?a).(a???b).
abb
积分上限函数的定义： 设函数f(x)?[a,b],则对任意的
x?[a,b]，f(x)在[a,x]上可积，由此
?xaf(x)dx定义了区间[a,b]上的函数，记
为?(x),即
?(x)??f(x)dx,x?[a,b]
ax这个函数称为积分上限函数或变上限积分函数.
牛顿-莱布尼茨公式
定理1 如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数
?(x)??f(t)dt在[a,b]上具有导数,且它的导数是
ax??(x)?dxf(t)dt?f(x)(a?x?b). ?adx补充假设f(t)连续,a(x),b(x)可导
db(x)???f(t)dt?f(b(x))b?(x) dxd???a(x)f(t)dt??f(a(x))a?(x) dx
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