（新高考）高考数学二轮复习专题强化训练（一）函数与方程思
想理
专题强化训练(一)函数与方程思想
一、选择题
1．[2019·河南名校联考]在平面直角坐标系中，已知三点A(a,2)，B(3，b)，C(2,3)，
O为坐标原点，若向量OB⊥AC，则a2＋b2的最小值为( )
A.12 5
B.18 5
→→
C．12 D．18
→→
解析：由题意得OB＝(3，b)，AC＝(2－a,1)， →→→→
∵OB⊥AC，∴OB ·AC＝3(2－a)＋b＝0，
?9?218所以当a＝9时，22222
∴b＝3a－6，∴a＋b＝a＋9(a－2)＝10a－36a＋36＝10?a－?＋，
5?5?5
a2＋b2取得的最小值，且最小值为，故选B.
答案：B
1
2．[2019·安徽马鞍山一模]已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝，S3－a1
83
＝，则S5＝( ) 4
A.C.31 3231 8
B.D.31 1631 4
185
解析：易知q>0且q≠1，且 1aq＝，??8?a?1－q?
3－a＝，??1－q4
31
3
1
1
a1＝1，??
解得?1
q＝，??2
1
3231a1?1－q?
所以S5＝＝＝，故选B.
1－q116
1－
2
5
1－
答案：B
3．[2019·山东滨州期中]若对于任意的x>0，不等式mx≤x＋2x＋4恒成立，则实数m
2
的取值范围为( )
A．(－∞，4] C．[－2,6]
B．(－∞，6] D．[6，＋∞)
442
解析：∵x>0，∴mx≤x＋2x＋4?m≤x＋＋2对任意实数x>0恒成立．令f(x)＝x＋＋xx4
2，则m≤f(x)min，因为f(x)＝x＋＋2≥2xx·＋2＝6，当且仅当x＝2时取等号，所以x4
m≤6，故选B.
答案：B
x2y2
4．[2019·河北唐山一模]椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，过F2垂直
ab于x轴的直线交C于A，B两点，若△AF1B为等边三角形，则椭圆C的离心率为( )
1A. 21C. 3
2
B.
3 23 3
D.
32b222
解析：由题意可得2c＝×，所以2ac＝3(a－c)，即3e＋2e－3＝0，由e
2a∈(0,1)，解得e＝答案：D
5．[2019·宁夏银川一中二模]已知不等式xy≤ax＋2y对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) C．[－1，＋∞)
2
2
2
2
3
，故选D. 3
B．[－1,4) D．[－1,6]
解析：不等式xy≤ax＋2y对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，等价于a≥－2??对于
xyx?y?2??
yx∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立．令t＝∈[1,3]，所以a≥t－2t2在[1,3]上恒成立，又y＝－
x?1?212
2t＋t＝－2?t－?＋，则当t＝1时，ymax＝－1，所以a≥－1，故选C.
?4?8
答案：C
6．[2019·河南十所名校联考]已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a6＝25，S5
＝40，则数列{an}的公差d＝( )
A．4 C．2
B．3 D．1
解析：由a3＋a6＝25，S5＝40得
a1＋2d＋a1＋5d＝25，???5×45ad＝40，1＋?2?
答案：B
解得d＝3，故选B.
x2y2
7．[2019·安徽合肥质检一]设双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，
abF2，过点F1的直线分别交双曲线左、右两支于点M，N，连接MF2，NF2，若MF2·NF2＝0，|MF2
→
|＝|NF2|，则双曲线C的离心率为( )
A.2 C.5
B.3 D.6
→
→
→
2→→→→→→→→→
解析：由MF2·NF2＝0，知MF2⊥NF2.又|MF2|＝|NF2|，则|MF2|＝|NF2|＝|MN|，且∠F1NF2
2→→??|MF2|－|MF1|＝2a＝45°.由双曲线的定义得?
→→??|NF1|－|NF2|＝2a
→→→
，两式相加，得|MF2|－|NF2|＋|MN|＝4a，
→→→→
即|MN|＝4a，则|NF2|＝22a，所以|NF1|＝2a＋|NF2|＝(2＋22)a.在△NF1F2中，由余弦定→2→2→2→→2222
理，得|F1F2|＝|NF1|＋|NF2|－2|NF1|·|NF2|cos∠F1NF2，即4c＝(22a)＋(2＋22)a－2×22a×(2＋22)a×答案：B
ππ
8．[2019·河南期末联考]已知－<α－β<，sinα＋2cosβ＝1，cosα－2sinβ＝
22π??2，则sin?β＋?＝( )
3??A.3
33 6
B.6 36 6
2222
，整理，得c＝3a，所以e＝3，即e＝3，故选B. 2
C.D.
解析：由sin α＋2cos β＝1，cos α－2sin β＝2，将两个等式两边平方相加，得1πππ
5＋4sin(α－β)＝3，即sin(α－β)＝－，因为－<α－β<，所以α－β＝－，
2226π?π?π3??即α＝β－，代入sin α＋2cos β＝1，得3sin?β＋?＝1，即sin?β＋?＝，
3?3?36??故选A.
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