第三章 晶格振动与晶体热学性质
一维原子链的晶格振动 一维简单晶格
在平衡位置时，两个原子间的互作用势能是U(a),令δ=xn+1-xn,则产生相对位移后，彼此作用势能变成U(a+δ)在平衡位置周围用泰勒级数展开，取得：
1?d2U?2?dU????? U?a????U?a???????2??2!?dr?a?dr?a式中首项为常数，次项为零。当δ很小，即振动很微弱时，势能展开式中可只保留到δ2项，则恢复力为
?d2U?dU?????? ????2??d??dr??d2U?这叫做简谐近似，上式中的β称为恢复力常数，????dr2??
??a若是只考虑相邻原子的互作用，则第n个原子的运动方程可写成
d2xnm2???xn?1?xn?1?2xn??n?1,2?,N? dt对于每一个原子，都有一个类似的运动方程，因此方程的数量和原子数相同。 设方程组的解为xn?Aei?qna??t?式中qna表示第n原子振动的位相因子，若是第n’个和第n个原子的位相因子之差(qn’a-qna)为2π的整数倍时，
xn'?Aei?qn'a??t??Aei?qna??t??xn
由此可见晶格中各原子的振动间存在固定的位相关系，也即在晶格中存在着角频率为ω的平面波，这种波称为格波(如图所示)。
将格波方程代入运动方程组可得，?2?????qa?亦即??2??sin??
?m??2?122??1?cos?qa?? m该式代表一维简单晶格中格波的色散关系，图为ω~q关系，即是一维简单晶格的振动频谱，其中取qa介于(-π，π)之间。
一维复式格子
考虑由两种不同原子组成的一维复式格子，相邻同种原子的距离为2a(复式格子的晶格常数)，原子质量别离为 M 和 m (M ＞ m)。类似一维简单格子，可得：
d2x2n?1m???x2n?2?x2n?2x2n?1? 2dtd2x2n?2M???x2n?3?x2n?1?2x2n?2?
dt2该方程组的解也能够是角频率为ω的简谐振动：
x2n?1?Aei?q?2n?1?a??t? x2n?2?Bei?q?2n?2?a??t?
把解代入运动方程，得
?m?2A??eiqa?e?iqaB?2?A ?M?2B??eiqa?e?iqaA?2?B
????上式可改写为
?2??m??A??2?cosqa?B?0
2??2?cosqa?A?2??M?2B?0
??若A、B有异于零的解，则其系数行列式必需等于零，即
2??m?2?2?cosqa?0
?2?cosqa2??M?2由此能够解得
??2??mM???m?M???m2??M?2mMcos?2qa??
?2?12由上式可见，ω与q之间存在着两种不同的色散关系，即对一维复式格子，能够存在两种独立的格波，这两种不同的格波各有自己的色散关系。
??21??mM???m?M???m2??M?2mMcos?2qa??
?2?12??22???m?M??m?M?2mMcos?2qa?? mM?????22?12????,?，则2qa介于(-π，π)，所以为了保证xn的单值性，把q值限制在??2a2a???2???2??ω1的最大值为??1?最大??? 而ω2的最小值为??1?最小??? 因为(M ＞
Mm????1212m)，从而ω2的最小值比ω1的最大值还要大。换句话说，ω1支的格波频率总比ω2支的频率低，实际上，ω2支的格波能够用光来激发，所以常称为光频支格波，简称光学波，而ω1支的格波则称为声频支格波，简称为声学波。
第三章晶格振动和晶体热学性质
