尺规作图五点定椭圆的方法
徐
文平
(东南大学
南京210096)
摘要:已知椭圆上五点,通过确定椭圆圆心、椭圆主轴方向和椭圆长轴短轴位置等三个步骤,尺规作图完成椭圆作图。
椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色,在机械制图和土木工程领域中也有重要运用。利用几何画板和cad软件,依据任意五个点的椭圆尺规作图,具有重要意义。
一、引言
在几何画板和cad软件中, 任意五个点作椭圆,具有意义。五点定椭圆在卫星轨道,机械制图和土木工程中是有重要用途。
第一步,通过五点寻找椭圆圆心 第二步,确定椭圆坐标x、y主轴方向 第三步、确定椭圆的长轴a和短轴b 1)大狗熊定理1:二次圆锥曲线内接
四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。
如图1,椭圆内接四边形KLMN,对边线KN与LM交于A,对边线KL与NM交于B,对角线KM的极点为C,对角线LN的极点为D,KM与LN交于Q点,则A、B、C、D四点共线,且AB调和分割CD,即1/AC+1/AD=2/AB。双曲线和抛物线也具有同样性质。
2)命题1:已知椭圆的斜向割线AB,作一条过椭圆圆心O点的任意割线JK, JA、BK交于E点,JB、AK交于F点,确定EF的中点N点,连线NA、NB就是椭
圆的切线。
证明:由于割线JK的切线交点极点在无穷远,利用定理1,可以快速证明这个
命题。
定理2:圆锥曲线 的内接完全四点形的对边三点形是圆锥曲线的自配极三点形。
命题3(高斯定理):已知椭圆外一点P,过P点作PAB与PCD二条任意椭圆割线,AD、CB交于Q点,AC、BD延长交于R,连线QR与椭圆交于S、T两点,PS、PT就是椭圆的切线。
二、通过五点寻找椭圆圆心
图 3
原理:通过已知五点,作椭圆切线,获得割线的极点,将割线的极点和割线中
点连接并延伸,必定通过椭圆的圆心。
图 4
问题1:只有五点,没有坐标轴和原点,椭圆斜的,割线PQ的切线极点如何办
切线方法:帕斯卡定理(五点 + 一个切点二次)做切线,或者如图5方法作切线。
图 5
命题4:已知椭圆上P、H、G、Q、A五点,利用椭圆内接四边形PQGH确定对角线PQ和GH交叉点T,可绘制极点T的
极线E F,利用椭圆内接四边形PQAB(H)确定对角线PQ和AB(H)交叉S点(利用帕斯卡定理,新构造椭圆第六点B点,替换H点),绘制极点S的极线MN,极线MN和极线EF交于C点,C点即为PQ割线的极点。
证明:依据极点极线的对偶定理,由于 S、T为PQ极线上的二点,可可知S、T极点的极线MN和极线EF相交于C点就是PQ的极点,连线PC、QC就是椭圆的切线。
(该方法也适合于双曲线和抛物线的情况)
问题2:椭圆上五点有时候似乎不够啊,如何构造椭圆上的临时第六点啊。
命题5:运用帕斯卡原理,通过椭圆上五点,可以增加椭圆上一点。
Pascal’s定理为通过五点作圆锥曲线提供了一种优美的解决方案。设已给1, 2, 3, 4, 5五点,其中任意三点不在同一直线上(特例将在后面讨论),但五点的平面位置为任意。我们将这五点依次相连,并
尺规作图五点定椭圆的方法
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