尺规作图五点定椭圆的方法
徐
文平
（东南大学
南京210096）
摘要：已知椭圆上五点，通过确定椭圆圆心、椭圆主轴方向和椭圆长轴短轴位置等三个步骤，尺规作图完成椭圆作图。
椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色，在机械制图和土木工程领域中也有重要运用。利用几何画板和cad软件，依据任意五个点的椭圆尺规作图，具有重要意义。
一、引言
在几何画板和cad软件中， 任意五个点作椭圆，具有意义。五点定椭圆在卫星轨道，机械制图和土木工程中是有重要用途。
第一步，通过五点寻找椭圆圆心 第二步，确定椭圆坐标x、y主轴方向 第三步、确定椭圆的长轴a和短轴b 1）大狗熊定理1：二次圆锥曲线内接
四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。
如图1，椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。双曲线和抛物线也具有同样性质。
2）命题1：已知椭圆的斜向割线AB，作一条过椭圆圆心O点的任意割线JK， JA、BK交于E点，JB、AK交于F点，确定EF的中点N点，连线NA、NB就是椭
圆的切线。
证明：由于割线JK的切线交点极点在无穷远，利用定理1，可以快速证明这个
命题。
定理2：圆锥曲线 的内接完全四点形的对边三点形是圆锥曲线的自配极三点形。
命题3（高斯定理）：已知椭圆外一点P，过P点作PAB与PCD二条任意椭圆割线，AD、CB交于Q点，AC、BD延长交于R，连线QR与椭圆交于S、T两点，PS、PT就是椭圆的切线。
二、通过五点寻找椭圆圆心
图 3
原理：通过已知五点，作椭圆切线，获得割线的极点，将割线的极点和割线中
点连接并延伸，必定通过椭圆的圆心。
图 4
问题1：只有五点，没有坐标轴和原点，椭圆斜的，割线PQ的切线极点如何办
切线方法：帕斯卡定理（五点 + 一个切点二次）做切线，或者如图5方法作切线。
图 5
命题4：已知椭圆上P、H、G、Q、A五点，利用椭圆内接四边形PQGH确定对角线PQ和GH交叉点T，可绘制极点T的
极线E F，利用椭圆内接四边形PQAB(H)确定对角线PQ和AB(H)交叉S点（利用帕斯卡定理，新构造椭圆第六点B点，替换H点），绘制极点S的极线MN，极线MN和极线EF交于C点，C点即为PQ割线的极点。
证明：依据极点极线的对偶定理，由于 S、T为PQ极线上的二点，可可知S、T极点的极线MN和极线EF相交于C点就是PQ的极点，连线PC、QC就是椭圆的切线。
（该方法也适合于双曲线和抛物线的情况）
问题2：椭圆上五点有时候似乎不够啊，如何构造椭圆上的临时第六点啊。
命题5：运用帕斯卡原理，通过椭圆上五点，可以增加椭圆上一点。
Pascal’s定理为通过五点作圆锥曲线提供了一种优美的解决方案。设已给1, 2, 3, 4, 5五点，其中任意三点不在同一直线上（特例将在后面讨论），但五点的平面位置为任意。我们将这五点依次相连，并
尺规作图五点定椭圆的方法
