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例1 求极限 （1）limcoscosn????22?cos2?2n，
解
??0时，极限为1；
?2n??0时（n充分大时，sin11n?) nn2，原式?lim?0）
sin?2nsinn???2n?sin??。
（2）lim(1?n??解 先求
n??limnln(1?1111?2)?limn(?2)?1，
n??nnnn1111 ?1??2?1?nnnn?1所以原式=e 另法 利用1?（3）limx???
x?0?x?解 因为???????1，即有?1????
x?x?x?x??x?x当x?0时，1?x?x????1，由夹挤准则得lim?x????1，
x?0?x??x?同理lim?x????1，故原极限为1。
x?0?x?（4）lim?xcosx
x?0?1??1?1?1?1?1?1?1??1??1? 解 先求lim?x?0111lncosx?lim?(cosx?1)??，
x?0xx2原极限为 e?1/2。
xx?ee（5）lim.
x?ex?eexlnx?eeexlnx?e?1e?elim解 原式?lim
x?ex?ex?ex?e31?cosxcos2x?cos3x（6）lim. 2x?0x解 分子为1?exp(lncosx?11lncos2x?lncos3x) 231文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
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~?(lncosx?原式??lim?11lncos2x?lncos3x), 23?lncosx1lncos2x1lncos3x??? 222?x?02x3x?x??1?1?2?3??3. 2n?? 练习（1）limnn(tanxx1?sin) （答案x3）
2nnxee?ee（2）lim （答案e）
x?0sinx?x1?cosxcos2x?ncosnx1 （3）lim （答案n(n?1)） 2x?0x4 （4）lim(ex?0x2sinx?x)1sinx （答案e）
?1
(1?x)(1?3x)?(1?nx)1 （5）lim （答案） n?1x?1n!(1?x） （6）lim（sinx?1?sinx) （提示和差化积，极限为0）
x????)，an?（7）设a0?(?1,111?an?1??,n?1，求lima1a2?an。
n??22（提示：令a0?cos?,???0,??，则an?cos?2n。）
例2 设x0???R，xn?sinxn?1,n?1，求limxn
n??解 考虑x1?sin????1,1?，分三个情形： （1）若x1?0，极限为0.
（2）若x1?0，则x2?sinx1?x1，易得xn?sinxn?1?xn?1,n?1，故数列单调递减有下界，极限存在。对xn?sinxn?1两边求极限得 l?sinl，从而l?0。
（3）x1?0时，同理求得l?0。 综上极限为0.
例3设x1?a?0,y1?b?0,a?b，且
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证明 limxn?limyn。
n??n??分析 问题中的递推公式互相关联，且平均值不等式（几何平均与算术平均）可用，考虑单调有界准则。
yn?0，且 证 由于xn?0,? 可知?xn?为单调增加数列，?yn?为单调减少数列，且a?xn?yn?b,?故数列?xn??yn?极限都存在，设极限分别为A,B，对yn?1?1两边取极限得B?(A?B)/2，故 (xn?yn),?2A?B。
注 此题变化为：x1?a?0,y1?b?0,a?b，且 则limxn?limyn。
n??n??例4 求下列函数的间断点并判断类型：
xx(x??)?1（1）. f(x)? （2）. f(x)?(1?e1?x)
sinx解 （1）无定义的点x?k?,k为整数.
因为f(0)??,f(0)???，所以x?0是跳跃间断点； 因为limf(x)??limx????x?????,所以x??是可去间断点；
x??sin(??x)k?0,1时，x?k?是第二类间断点。
思考：间断点将实轴分成子区间，函数在哪个子区间上有界？ （2）无定义的点x?1及x?0.因为 limf(x)?1/lim(1?ex?0x?0x1?x)??,
故x?0是f(x)的无穷间断点.又由于 故x?1是f(x)的跳跃间断点.
例5 设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，f(0)?f(1)。证明存在x0?[0,1]，使得
1f(x0)?f(x0?)。
3证 令g(x)?f(x)?f(x?)，0?x?1322，则由条件知g(x)在[0,]上连续，设333文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
华中科技大学微积分极限习题课及答案
