2.7 一粒子在一维势阱中运动，
??U0?0, x?a U(x)??
?? 0, x?a求束缚态(0?E?U0)的能级所满足的方程。
补充：取电子质量，势阱深20eV，a=0.5nm，给出基态（和第一激发态）能级的
数值结果并作波出函数和概率密度的图。 解法一：粒子所满足的定态S-方程为
??2d22?dx2?(x)?U(x)?(x)?E?(x) 按势能U(x)的形式分区域的具体形式为
Ⅰ：??2d22?dx2?1(x)?U0?1(x)?E?1(x) ???x?a Ⅱ：??2d22?dx2?2(x)?E?2(x) ?a?x?a Ⅲ：??2d22?dx2?3(x)?U0?3(x)?E?3(x) a?x?? 整理后，得
Ⅰ： ????2?(U0?E)1?2?1?0 Ⅱ：. ??2? E2???2?2?0 Ⅲ：????2?(U0?E)3?2?3?0 令 k2?(U0?E)21?2?2 k22??E?2 则
Ⅰ： ?1???k21?1?0 Ⅱ：. ??2??k22?2?0 Ⅲ：??3??k21?1?0 各方程的解为
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ 16
?1?Ae?kx?Bekx ?2?Csink2x?Dcosk2x
11?3?Ee?kx?Fe?kx11由波函数的有限性，有
?1(??)有限 ?A?0
?3(?)有限 ?E?0因此
?1?Bekx1?3?Fe?k1x
由波函数的连续性，有
?1(?a)??2(?a),?Be?ka??Csink2a?Dcosk2a (10)1
?(?a),?k1Be?ka?k2Ccosk2a?k2Dsink2a (11)?1?(?a)??21?2(a)??3(a),?Csink2a?Dcosk2a?Fe?k1a (12)1
?(a)??3?(a),?k2Ccosk2a?k2Dsink2a??k1Fe?ka (13)?2整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得
e?k1aB?sink2aC?cosk2aD?0?0
k1e?k1aB?k2cosk2aC?k2sink2a D?0?00?sink2aC?cosk2aD?e?k1aF?0
0?k2cosk2aC?k2sink2aD?k1e?k1aF?0解此（四元一次）方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式。注
意，系数依赖于未定常数E，即该方程为数学上的本征方程。要方程组有非零解，必须系数矩阵的行列式为零
e?k1ak1e?k1a00sink2a?cosk2a?k2cosk2a?k2sink2asink2ak2cosk2acosk2a00?e?k1a?0
?k2sink2ak1Be?k1a 17
0?e?k1a?k2cosk2a?k2sink2asink2acosk2ak2cosk2a0sink2a?e?k1a?k1e?k1asink2a?cosk2acosk2a0?e?k1a?k2sink2ak1e?k1ak2cosk2a?k2sink2ak1e?k1a ?e?k1a[?k1k2e?k1acos2k2a?k22e?k1asink2acosk2a?2?k1a ?k1k2e?k1asin2k2a?k2esink2acosk2a]? ?k1e?k1a[k1e?k1asink2acosk2a?k2e?k1acos2k2a? ?k1e?k1asink2acosk2a?k2e?k1asin2k2a] ?e?2k1a[?2k1k2cos2k2a?k22sin2k2a?k12sin2k2a]2 ?e?2k1a[(k2?k12)sin2k2a?2k1k2cos2k2a]
∵ e?2k1a?0
2?k12)sin2k2a?2k1k2cos2k2a?0 ∴(k22?k12)tg2k2a?2k1k2?0 为所求束缚态能级(E)所满足的方程。 即 (k22?k12)tg2k2a?2k1k2的图，其中束缚态注意k1,k2 都依赖于E，做出函数f(E)?(k2要求0 能级的特点：U0较小（<1/a）且无论多小时，存在且只存在1个束缚态，随U0的增大，束缚态数增加。 由于本征方程的解不定，可以差一个常系数，取B为自由量，将其余系数矩阵（部分）化为（消元法） ?e?k1asink2a?cosk2a0???k1a?ke?kcoska?ksinka02222?1??ka?0sink2acosk2a?e1????k1a??0k2cosk2a?k2sink2ak1Be???k2sink2ae?k1ak2sin2k2a?k2sink2acosk2a0???k1a?2kecoska?kcoska?ksinkacoska0222222???1?ka?0sink2acosk2a?e1????k1a??0kcoska?ksinkakBe?22221??(k2sink2a?k1cosk2a)e?k1a??k1ake1???0??0????k2cosk2a?k2sink2a0?sink2acosk2a?e?k1a???k1a?k2cosk2a?k2sink2ak1Be?k200 所以由B及前三个方程可得（注第四个方程和前三个是自洽的） 18 ??C??Be?k1a(sink2a?k1/k2cosk?2a)?D??Be?k1a?Csink?ka2a?/(cosk2a)?Be1(cosk2a?k1/k2sink2a) ???F?(Csinkk2a?Dcosk2a)e1a?B(cos2k2a?k1/k2sin2k2a)??B??1?Bek1xx??a即粒子的波函数为 ???2?Csink2x?Dcosk2x?a?x?a ????k3?Fe1xx?aB可由波函数的归一化得出。 # 19
量子力学(周世勋)课后答案-第一二章
