? E?m?nh2
k? E?n?k。
m能量间隔 ?E??k m最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。
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1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？
解：关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具体到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正负电子对所需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有
E?hv?mec2
此外，还有 E?pc?hc?
1.24?10?6hc?m?2.4?10?12m?2.4?10?3nm 于是，有 ??620.51?10mec尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们
知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。
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第二章波 函数和薛定谔方程
2.1证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令?(r,t)??(r)ei?Et，得
i(???*??*??)2miiii?Et?Et?Et?Eti** ?[?(r)e?（?(r)e）??(r)e?（?(r)e）] J?2m ?i2m[?(r)??*(r)??*(r)??(r)] 可见J?与t无关。
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2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：
(1)??1eikr (2)?112?re?ikrr
说明?1表示向外传播的球面波，?2表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解：在球坐标中??e??r?e1?1?r?r???e?rsin??? 所以，J1和J2只有er方向分量。
(1) Ji1?2m(?1??*1??*1??1) ?i1ikr?1?ikr1?ikr?2m[re?r(re)?re?r(1reikr)]er ?i2m[1r(?11111 r2?ikr)?r(?r2?ikr)]er ?kmr2er?kmr3r ?J?1与r同向，表示向外传播的球面波。
(2) Ji2?2m(?2??**2??2??) ?i2m[1re?ikr??r(1reikr)?1ikr?1?ikrre?r(re)]er ?i2m[1r(?11111
r2?ikr)?r(?r2?ikr)]er ??kkmr2er??mr3r J??2与r反向，表示向内(即向原点) 传播的球面波。
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2.3一粒子在一维势场
??，x?0? 0?x?a U(x)??0，??，x?a?中运动，求粒子的能级和对应的波函数。补充：设已知t=0时刻波函数为
?1?12?sinx?sinx,0?x?a?，求 ?(x,t)。 ?(x,0)??aaaa??0,x?0,x?a解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程
??2d22mdx2?(x)?U(x)?(x)?E?(x) 在各区域的具体形式为
Ⅰ：x?0 ??2d22mdx2?1(x)?U(x)?1(x)?E?1(x) Ⅱ： 0?x?a ??2d22mdx2?2(x)?E?2(x) Ⅲ：x?a ??2d22mdx2?3(x)?U(x)?3(x)?E?3(x) 由于(1)、(3)方程中，由于U(x)??，要等式成立，必须
?1(x)?0 ?3(x)?0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为 d2?2(x)dx2?2mE?2?2(x)?0 令k2?2mEd2?2(x)?2，得 dx2?k2?2(x)?0 其解为 ?2(x)?Asinkx?Bcoskx ④ 根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得 ?2(0)??1(0) ⑤
?2(a)??3(a) ⑥
① ② ③ 10
量子力学(周世勋)课后答案-第一二章
