量子力学(周世勋)课后答案-第一二章

由天下分享时间：2024/11/18 13:31:58 加入收藏我要投稿点赞

量子力学课后习题详解

第一章量子理论基础

1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，即

?m T=b（常量）；

并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式

8?hv3?vdv??3c1ehvkTdv，（1） ?1以及 ??c?，（2）

???v?|d?d?|，（3）

有

??dv???||d?d?c????v(?)|d??(?) ?v2?c?8?hc??5?1ehc?kT,?1这里的??的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，??取得极大值，因此，就得要求?? 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作?m。但要注意的是，还需要验证??对λ的二阶导数在?m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的?m就是要求的，具体如下：

d??8?hc?6?d??

1hce?kT?hc1??5??hc???kT??kT?1?1?e???0 ???1

? ?5?hc??kT11?ehc?hc?kT?0

? 5(1?e如果令x=

??kT)?hc ?kThc ，则上述方程为 ?kT5(1?e?x)?x

这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有

hc?mT?

xk把x以及三个物理常量代入到上式便知

?mT?2.9?10?3m?K

这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1.2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。解：根据德布罗意波粒二象性的关系，可知

hP?。

?所考虑的粒子是非相对论性的电子（动能Ek??mec2?0.51?106eV），满足

p2， Ek?2me因此利用非相对论性的电子的能量—动量关系式，有

h??p???h2meEhc2mec2E1.24?10?62?0.51?10?36

m?0.71?10?9m?0.71nm在这里，利用了

hc?1.24?10?6eV?m， mec2?0.51?106eV。

最后，对 ??h2meE

作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

自然单位制：在粒子物理学中，利用三个普适常数（光速c，约化普朗克常数,玻耳兹曼常数 k）来减少独立的基本物理量的个数，从而把独立的量纲减少到只有一种（能量量纲，常用单位eV）。例：1nm=5.07/keV，1fm=5.07/GeV，

?51K?8.6?10eV. 电子质量m=0.51MeV. 核子（氢原子）质量M=938MeV，温度

1.3 氦原子的动能是E?罗意波长。

3，求T=1K时，氦原子的德布kT（k为玻耳兹曼常数）

2解：根据 1k?K?8.6?10?5eV，知本题的氦原子的动能为

E?33kT?k?K?1.29?10?4eV, 22显然远远小于?核c2这样，便有??hc2mHecE2

2?3.7?10?1.29?10 ?1.3?10?9m?1.3nm?1.24?10?69?4m

这里，利用了mHec2?4?938?106eV?3.7?109eV。

最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相应的德布罗意波长就为 ??h2mE?h2mkT

据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就不能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。

1.4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；解：玻尔—索末菲的量子化条件为：

?pdq?nh