2024年全国硕士研究生入学统一考试
数学三考研真题与全面解析（Word版）
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．1. 下列函数中在x?0处不可导的是（ ）
x x （A）f(x)?xsinx （B）f(x)?xsin（C）f(x)?cosx （D）f(x)?cos【答案】(D)
【解析】根据导数定义，A. limx?0xsinxxgxf(x)?f(0)?lim?lim?0 ，可导； x?0x?0xxxB.limx?0xsinxxgxf(x)?f(0)?lim?lim?0, 可导； x?0x?0xxx12xcosx?1f(x)?f(0) C. lim?lim?lim2?0 ，可导；
x?0x?0x?0xxx211?x?xcosx?122D. lim ，极限不存在。故选（D）. ?lim?limx?0x?0x?0xxx??? 2. 设函数
f(x)在[0,1]上二阶可导。且?0f(x)dx?0，则 （ ）
1（A）当
11f?(x)?0时，f()?0 （B）当f??(x)?0时，f()?0
2211???f(x)?0时，f()?0 （D）当f(x)?0时，f()?0
22（C）当
【答案】（D）
1【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑“泰勒展开”。从选项中判断，展开点为x0? 。
2将函数
f(x)在x0?1处展开，有 21111f??(?)1f(x)?f()?f?()(x?)?(x?)2，其中???x。
22222!2两边积分，得
0??1011f??(?)1111f(x)dx?f()??f?()(x?)dx??(x?)2dx
002222!21f??(?)112?f()??(x?)dx，
022!2由于
f??(x)?0??10f??(?)121 ，所以(x?)dx?0f()?0，应选（D）.
2!22【解析二】排除法。
111?（A）错误。令f(x)??x?，易知?f(x)dx?0，f(x)??1?0，但是f()?0。
022（B）错误。令
111??f(x)??2?0f(x)dx?0，易知，，但是 f(x)??x?f()?0。?0322（C）错误。令故选 （D）.
f(x)?x?111，易知?f(x)dx?0，f?(x)?1?0，但是f()?0。
022?21?x(1?x)23. 设M??2?，N?dx，K??2?(1?cosx)dx，则（ ） dx?x2????2e221?x??（A）M（C）K【答案】（C）
?N?K （B）M?K?N ?M?N （D）K?N?M
【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分则最简化积分。
??22(1?x)1?x?2x2x22M??2?dx?dx?(1?)dx??， ??222?????1?x1?x21?x22?????K??2?(1?cosx)dx??2?1gdx??，
22令
x则f?(x)?e?1，当x?(?,0)时，f?(x)?0， f(x)?ex?1?x,x?(?,)，
222???当x?(0,?)时，f?(x)?0，故 对?x?(?,)，有f(x)?f(0)?0，因而 222????1?x1?x?1，N??2?xdx??2?1gdx??，故K?M?N。应选（C）. x??e2e24. 设某产品的成本函数C(Q)可导，其中Q为产量。若产量为Q0时平均成本最小，则 （ ） （A）C?(Q0)?0（B）C?(Q0)?C(Q0)（C）C?(Q0)?Q0C(Q0)（D）Q0C?(Q0)?C(Q0) 【答案】（D）
C(Q)dC(Q)C?(Q)Q?C(Q),【解析】平均成本 C(Q)? ， ?2QdQQ由于产量为Q0时平均成本最小，因此C?(Q0)Q0
?C(Q0)?0，故选（ D）
?110???5. 下列矩阵中阵，与矩阵011相似的是（ ） ????001???11?1??10?1??11?1??10?1??（A）011? （B）?011? （C）?010? （D）?010? ?????????????001???001???001???001??【答案】（A）
?110???【解析】记矩阵H?011，则秩r(H)?3，迹tr(H)?3,特征值??1 ????001??（三重）。观察A,B,C,D四个选项，它们与矩阵H的秩相等、迹相等、行列式相等，特征值也相等，进一步分析可得：r(?E?H)?2,r(?E?A)?2，r(?E?B)?1
r(?E?C)?1, r(?E?D)?1。如果矩阵A与矩阵X相似，则必有kE?A与kE?X相似（k为任意常数），从而r(kE?A)?r(kE?X)），故选（A）,
6. 设A,B是n阶矩阵，记r(X)为矩阵X 的秩，(X,Y)表示分块矩阵，则（ ）
（A）r(A,AB)（C）r(A,B)?r(A) （B）r(A,BA)?r(A)
?max{r(A),r(B)} （D）r(A,B)?r(AT,BT)
【答案】（A）
【解析】把矩阵A,AB 按列分块，记A?(?1,?2,L?n),AB?(?1,?2,L?n)，则向量
组?1,?2,L?n 可以由向量组?1,?2,L?n线性表出，从而?1,?2,L?n与
?1,?2,L?n，?1,?2,L?n，等价，于是r(A,AB)?r(A)，故选（A）。
)27. 设随机变量X的概率密度f(x)满足f(1?x)?f(1?x，且?0f(x)dx?0.6
则P{X?0}? ( )
（A）0.2 （B）0.3 （C）0.4 （D）0.5 【答案】（A） 【解析】由
f(1?x)?f(1?x)可知概率密度函数f(x)关于x?1对称，
结合概率密度函数的性质
?????f(x)dx?1及已知条件?20f(x)dx?0.6，容易得出
P{X?0}??0f(x)dx?1??2??2[???f(x)dx??0f(x)dx]?0.2，故选（A）。
8. 设X1,X2,L,Xn(n?2)是来自总体N(?,?2)(??0)的简单随机样本。
__令1n1nX?n?X__
2i，S?i?1n?1?(Xi?X)，S*?1ni?1n?(X2i??)，则（i?1（A）
n(X??)n(X??S~t(n) （B）)S~t(n?1)
）（C）
【答案】（B） 【解析】由
n(X??)n(X??)~t(n) （D）~t(n?1) **SSX??X~N(?,?)?X~N(?,)?~N(0,1)，
n?n22X??(n?1)S 与 ~?2(n?1)，且
?2?n?2(n?1)S2?2 相互独立，所以
X???n(n?1)S2?2(n?1)?n(X??)~t(n?1)，故选 （B）。
S二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．9. 曲线y?x2?2lnx在其拐点处的切线方程为 。 ?4x?3.
【答案】y22【解析】函数的定义域为(0,??)，y??2x?，y???2?2xx令
4；y????3x。
y???0，解得 x?1，而y???(1)?0，故点 (1,1)是曲线唯一的拐点。曲线在该点处的斜率
y?(1)?4，所以切线方程为 y?4x?3。
10.
x2xearctan1?edx? 。 ?【答案】 【解析】
x2x2xxearctan1?edx?arctan1?ede ???exarctan1?e2x??exdarctan1?e2x?exarctan1?e2x??ex11?(1?e2x)d1?e2x
?exarctan1?e2x??d1?e2x?exarctan1?e2x?1?e2x?C11、差分方程?2yx?yx?5的通解是_____。
2024年考研数学三试题及全面解析(Word版)
