计算方法 第七章 习题
复习与思考题
1．设f
C [a , b]，写出三种常用范数f1f2及f?。
n}
2．f , g C [a , b]，它们的内积是什么？如何判断函数族{ 0, 1, …, b]在[a ,b]上线性无关？ 3．什么是函数f C [a , b]在区[a , b]上的n 次最佳一致逼近多项式？
mC [a ,
4．什么是f 在[a , b] 上的n次最佳平方逼近多项式？什么是数据?fi?0的最小二乘曲
线拟合？
5．什么是[ a , b ]上带权 (x)的正交多项式？什么是[ -1, 1 ]上的勒让德多项式？它有什
么重要性质？
6．什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？
7．用切比雪夫多项式零点做插值得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同？ 8．什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时为什么不直接求解法方程？
9．哪种类型函数用三角插值比用多项式插值或分段多项式插值更合适？ 10．判断下列命题是否正确？ （1）任何f (x) 为任给的误差限)。
*（2）Pn(x)?Hn是f (x)在[ a , b]上的最佳一致逼近多项式，则limPn(x)?f(x)对
*n??C [a , b]都能找到n次多项式Pn (x) Hn，使| f (x) - Pn (x) | (
?x?[a,b]成立。
（3）f (x)
n??C [a , b]在[a , b]上的最佳平方逼近多项式Pn (x) Hn则
limPn(x)?f(x)。
（4）Pn(x)是首项系数为1的勒让德多项式，Qn (x)
~ Hn是任一首项系数为1的多项
式，则
?1?1~[Pn(x)]2dx??1?12Qn(x)dx。
（5）Tn(x)是[-1 , 1]上首项系数为1的切比雪夫多项式。Qn (x) 为1的多项式，则
?1?x?1~ Hn是任一首项系数
~maxTn(x)?maxQn(x).
?1?x?1（6）当数据量很大时用最小二乘拟合比用插值好。 11．证明函数1, x, …, xn线性无关。 12．证明 || f – g || ≥|| f || - || g || . 13．对f (x), g (x)
（1）(f,g)?（2）(f,g)?C 1 [a , b]，定义
??babf?(x)g?(x)dx；
f?(x)g?(x)dx?f(a)g(a)。
n (x), n = 0, 1, 2,
a问它们是否构成内积。 14．对权函数 (x) = 1 + x2，区间[-1 , 1]，试求首项系数为1的正交多项式3.
15．试证明第二类切比雪夫多项式族{un (x)}是[-1,1]上带权?(x)?1?x2的正交多项式。 16．证明对每一个切比雪夫多项式Tn (x)，有
??11[Tn(x)]21?x2dx??2。
17．用T3 (x)的零点做插值点，求f (x) = ex在区间[-1, 1]上的二次插值多项式，并估计其最大误差界。
18．设f(x)?x2?3x?2,x?[0,1]，试求f (x)在[0, 1]上关于 (x) = 1，
= span{1, x}
的最佳平方逼近多项式，若取 = span{1, x, x2}，那么最佳平方逼近多项式是什么？ 19．求f (x) = x 3在[-1 , 1]上关于 (x) = 1的最佳平方逼近二次多项式。 20．求函数f (x)在指定区间上对于 = span{1, x}的最佳平方逼近多项式；
（1）f(x)?1,[1,3]； （2）f(x)?ex,[0,1]； x （4）f(x)?lnx,[1,2]。
（3）f(x)?cos?x,[0,1]；
上机实习题
1．求下表数据的1, 2, 3次最小二乘多项式
i 0 1 2 3 4 5 xi 0 0.15 yi 1.000 1.004 哪一种拟合曲线的误差最小？ 2．由实验给出数据表
x y 0.0 1.0 0.1 0.41 0.31 1.301 0.5 1.117 0.6 1.223 0.75 1.422 0.2 0.50 0.3 0.61 0.5 0.91 0.8 2.02 1.0 2.46 试求3次、4次多项式的曲线拟合，再根据数据曲线形状，求一个另外函数的拟合曲线，用图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。
3．一种抽样调查表明，某地的鱼的数量与种类的关系如下表
x y x y x y 13 11 29 12 60 14 15 10 30 14 62 21 16 11 31 16 64 21 21 12 36 17 70 24 22 12 40 13 72 17 23 13 42 14 100 23 25 13 55 22 130 34 表中x为鱼的数量，y为鱼的种类，求此问题的线性一次最小二乘解。
4．用最小二乘法求一形如y = a + bx2 的多项式，使之与下列数据相拟合：
xi yi 19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8 5．用最小二乘法求一如R = bWa的经验公式（a, b为待定参数），使之与下列数据相拟合
Wi 1 2 4 8 16 32 64 Ri 4.22 4.02 3.85 3.59 3.44 3.02 2.59 若在形如lnR = lnb + alnW的基础上，加上一个二次项e (lnW)2，求形如
lnR?lnb?alnW?e(lnW)2
的最小二乘拟合曲线。 6．已知一组实验数据如下
xi 0.0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 110.0 yi 0.0 10.0 30.0 50.0 80.0 利用构造正交多项式?k (x)的办法求最小二乘二次曲线拟合。
7．使用快速傅里叶变换确定函数f(x)?x2cosx在[??,?]上的16次三角插值多项式。
8．观测物体的直线运动，得出以下数据： 时间 t / s 距离s / m 0 0 0.9 10 1.9 30 3.0 50 3.9 80 5.0 110 求运动方程。 9．已知实验数据如下： xi yi 19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8 用最小二乘法求形如y = a + bx 2的经验公式，并计算均方程误差。 10．在某化学反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下：
时间t/s 浓度y/(10-4) 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64 用最小二乘法求y = f (x).
小学少先队组织机构 少先队组织由少先队大队部及各中队组成，其成员包括少先队辅导员、大队长、中队长、小队长、少先队员，为了健全完善我校少先队组织，特制定以下方案： 一、成员的确定 1、大队长由纪律部门、卫生部门、升旗手、鼓号队四个组织各推荐一名优秀学生担任（共四名），该部门就主要由大队长负责部门内的纪律。 2、中、小队长由各班中队公开、公平选举产生，中队长各班一名（共11名），一般由班长担任，也可以根据本班的实际情况另行选举。小队长各班各小组先选举出一名（共8个小组，就8名小队长）然后各班可以根据需要添加小队长几名。 3、在进行班级选举中、小队长时应注意，必须把卫生、纪律部门的检查学生先选举在中、小队长之内，剩余的中、小队长名额由班级其他优秀学生担任。 4、在班级公开、公平选举出中、小队长之后，由班主任老师授予中、小队长标志，大队长由少先队大队部授予大队长标志。 二、成员的职责及任免 1、大、中、小队长属于学校少先队组织，各队长不管是遇见该班的、外班的，不管是否在值勤，只要发现任何人在学校内出现说脏话、乱扔果皮纸屑、追逐打闹、攀爬栏杆、乱写乱画等等一些违纪现象，都可以站出来制止或者报告老师。 2、班主任在各中队要对中、小队长提出具体的责任，如设置管卫生的小队长，管纪律的小队长，管文明礼貌的、管服装整洁的等等，根据你班的需要自行定出若干相应职责，让各位队长清楚自己的职权，有具体可操作的事情去管理，让各位队长成为班主任真正的助手，让学生管理学生。各中队长可以负责全班的任何违纪现象，并负责每天早上检查红领巾与校牌及各小队长标志的佩戴情况。 3、大、中、小队长标志要求各队长必须每天佩戴，以身作则，不得违纪，如有违纪现象，班主任可根据中、小队长的表现撤消该同学中、小队长的职务，另行选举，大队长由纪律、卫生部门及少先队大队部撤消，另行选举。 4、各班中、小队长在管理班级的过程中负责，表现优秀，期末评为少先队部门优秀干部。
数值计算方法第七章习题 2013
