帮你理解二次函数与一元二次方程之间的关系
一元二次方程的解法及应用是同学们较熟悉的知识点，但对于二次函数的问题就没那么得心应手了。这二者之间有没有联系，学习中是否可以相互借鉴呢？这些问题需要我们认真搞清楚。
一元二次方程是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。所有的一元二次方程都可化为这样的一般形式：ax2+bx+c=0（x 是未知数，a、b、c是常数，且a≠0），而二次函数是指形如y=a x2+bx+c（x 是自变量，a、b、c是常数，且a≠0）的函数。由此可见，二者之间是有一定的联系。
当二次函数中的函数值确定了，也就是当y取一个常数，此时函数就变成了一个一元二次方程。而当一元二次方程右边的常数0换成一个变量y之后，此时的一元二次方程就变成了二次函数。下面结合具体的例子讲解它们的关系。
例1、要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划每天安排4场比赛（不许有空场）
（1） 若安排7天的比赛时间，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ （2） 若安排9天的比赛时间，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ （3） 能否安排10天的比赛时间？
（4） 若比赛组织者邀请x个队参赛，安排y 天的比赛时间，试写出y与x之间的函数关系式。
分析：（1）、（2）、（3）题中由于比赛的天数都已确定，只有邀请参赛的队数未知，所以都可通过列一元二次方程来解决；而（4）中只存在两个变量，所以属二次函数的应用问题。
解：（1）设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意得，
1x（x-1）=28 2化简得x2－x－56=0
解之得，x1=8，x2=－7（不合题意，舍） 答：比赛组织者应邀请8个队参赛．
（2） 设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意得，
1x（x-1）=36 2 1 / 3
化简得x2－x－72=0
解之得，x1=9，x2=－8（不合题意，舍） 答：比赛组织者应邀请9个队参赛．
（3）假设能。设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意得，
1x（x-1）=40 2化简得x2－x－80=0 解之得，x1=因为x1=
1?3211?321，x2=（值为负，不合题意，舍） 221?321不是整数，因而不满足题意，舍 2所以不能按排10天的比赛时间。 （4）根据题意得y＝去括号得，y＝
1x（x－1） 2121x－x 22点评：由上例可以看出当问题中只有一个未知数时，我们就用一元二次方程来解决，当问题中有两个未知数时，当我们把其中一个看作自变量，另一个看作是自变量的函数时，就可用函数来解决。我们再用下面这道例题来加深对一元二次方程和函数的理解。
例2、用一根长为100m的绳子围成一个矩形场地， （1） 矩形的长为多少m时，矩形场地的面积是400m2? （2） 能否围成面积是800m2的矩形场地？
（3） 能否围成一个面积最大的矩形场地，若能，求出矩形的长和宽；若不能说明其中的道理。
分析：从题中可以看出，显然（1）、（2）两问仍可用一元二次方程来解决。（3）所求的矩形面积要最大，是一种特殊情况，我们可以先求出一般情况，此时面积未定，可列出二次函数的解析式，最后利用二次函数的性质来解决。
解：（1）设矩形的长为xm，则宽为（50－x），根据题意得， x（50－x）＝400 解之得，x1=40，x2=10
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当x2=10时，（50－x）=40>10，不合题意，舍 答：矩形的长为40m时，矩形场地的面积是400m2
（2）假设能，设矩形的长为xm，则宽为（50－x），根据题意得， x（50－x）＝800 整理得x2－50x＋800=0 此方程无解
答：不能围成面积是800m2的矩形场地。
（3）设矩形的长为xm，面积为y m2，根据题意得， y＝x（50－x）
整理得，y＝－（x－25）2＋625
由二次函数的性质知，当x=25时，y有最大值625 此时宽为50－25＝25（m）
答：矩形的长为25m、宽为25m时，矩形场地的面积最大，是625m2 点评：从本题中我们可以进一步看出一元二次方程和二次函数之间的关系及解题中的区别，从而帮助我们更好地学好二次函数。
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