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发表在《中学生数学》杂志
“五角星”的五个角的度数之和的一组变式
浙江省宁波市镇海应行久外语实验学校 余满龙(315200)
如图1是我们大家非常熟悉的我国国旗图案,国旗上有五颗美丽的五角星，你知道每一颗五角星的五个角的度数之和是多少度吗？要回答这个问题不难,因为国旗上每一个五角星都是正五角星,如图2所示,它的每一个角都是36,即∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝36，故有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180.如图3,在一般的五角星中上述关系还成立吗?写出你的结论,并简要说明你的理由.
A
EB
图1
图2 DC
图3
在这里我们先了解一个有用的基本图形与相关的一个结论:
大家知道,在图4中,∠3＝∠1＋∠2(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).
C
D1
2O
3 BA图6 图4 图5
(1)基本图形:图5;(2)结论:∠A＋∠B＝∠C＋∠D(证明请同学们自己完成).
对于图3,我们连结CD,得图6,这里构造了图5这个基本图形,所以∠B＋∠E＝∠1＋∠2,这样5个顶角的和等于△ACD的三个内角的和180.
【变式1】当A向下移动到BE上时，五个角的和（∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E） 有无变化？
EB EABBEABAA
C????ECCD【变式2】当点A进一步向下移动至如图所示的位置，五个角的和（∠CAD+∠B+∠C+DC变式4 变式1 变式3 D变式2 1
D……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
∠D+∠E）有无变化？
【变式3】将A，C同时移动至如图所示的位置，五个角的和（∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化?
【变式4】将A，C同时移动至如图所示的位置，五个角的和（∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化?
对于上述四个变式,五个角的和180都没有变化.事实上,对变式1、2,我们仍都连结CD,5个角的和等于△ACD的三个内角的和180;对于变式3、4,我们都连结DE,5个角的和等于△BDE的三个内角的和180.
利用图5这个基本图形及结论,我们可以解决很多类似的问题.
【变式5】如果截去五角星的一个角请你求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E+∠F的度数. FE A BD
C
变式5 对于变式5,我们连结BC, 如下图,则∠A＋∠D＝∠1＋∠2,这样六个角的和等于四边形BCEF的内角和360.
动手试一试,显显你的能力:
变式6.求图7(1)、图7(2)、图7(3)中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数吗? BAFAAFE
D D????
ECFD
ECBC图7(3)
图7(1) B图7(2)
变式7.如图8，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度数. 变式8.如图9,求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I的度数.
C H
F
D G A参考答案: 如图8
GADFECEIHBB如图9
2
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变式6.图7(1)直接利用图5的基本图形及结论,7(2)、7(3)中分别连结BC和AB,再利用图5的基本图形及结论,再用多边形内角和公式,均可求得6个角度之和都是360.
变式7.图8中连结HE、FC和HC,便可把所求的8个角度之和转化为四边形ABCH的内角和为360.
变式8.图9中连结AG和GD,便可把所求的9个角度之和转化为五边形ABCDG的内角和为540.
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“五角星”的五个角的度数之和怎么算精编版
