湖南省十四校
2024 届高考第二次联考数学（理）试题含答案
2024 届高三·十四校联考
第二次考试
数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 目要求的 . 1. 设集合 A A． ( 4,) 2. 复数 z
12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
{ x | x 2} ， B
B
． [ 4,
{ x |1
)
x 2} ，则 A B （
）
C． [ 2, 1]
）
D． [ 4, 2]
i 3 i
3 i
（ i 为虚数单位）的共轭复数为（
A．
1
B． 1
3 i
C．
10 10
10 10
3 i D． 9
10 10
9 3 i 10 10
3. 下列有关命题的说法中错误的是（ A．设 a, b R ，则“ a B．若 p
）
b ”是“ a a b b ”的充要条件
q 为真命题，则 p ， q 中至少有一个为真命题
C．命题：“若 y D．命题“ n
f (x) 是幂函数，则 y N * ， f ( n) N * 且 f (n)
f (x) 的图象不经过第四象限”的否命题是假命题 n ”的否定形式是“
n0 N * ， f (n0 ) N * 且 f ( n0 )
6
n0 ”
4. 已知不等式
x
2
0 的解集为 ( 2, 1) ，则二项式 ax
1 x 2
展开式的常数项是（
）
ax 1
A． 15
5. 若函数 f (x)
B
． 15
C
． 5
D
． 5
3sin(
x)
sin 5
2
x ，且 f (
) 2 ， f ( ) 0 ，
的最小值是 ，则
2
f ( x) 的单调递增区间是（
A． 2k
）
25
,2 k 3
3
(k Z )
B
． 2k
5
,2 k
6 (k 6
(k Z )
6
． k
C． k
,k
12
( k Z )
D
, k 3
Z )
12
6. 某几何体的三视图如图所示（单位：
cm ），则该几何体的表面积（单位：
cm2 ）是（
）
1
A． 40 12 5 B ． 40 24 5 C． 36
12 5
D
． 36
24 5
7. 甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借 A 、 B 、C 、 D 四类课外书 （每类课外书均有若干本）已知每人均只借阅一本， 每类课外书均有人借阅， 且甲只借阅 A 类课外书， 则不同的借阅方案种类为 （
A． 48
B
． 54
C． 60
D． 72
8. 如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（
）
A．
1 B
．
3 C．
2
D．
3
2
3
2
2
9. 一个算法的程序框图如下，则其输出结果是（
）
A． 2 1B．
2 1C2
．
D
． 0
2
2
2
，
）
x 0
10. 已知点 A(4,0) ，B(0, 4) ，点 P(x,y)
的坐标 x， y 满足
y 0
3x 4 y 12
． 8
，则 AP BP
的最小值为 （
）
0
A． 196
B
． 0
C
．
25
25 4
D
11. 过圆 P ： (x 1)
2
y21
4
2的圆心 P 的直线与抛物线 C ： y
2x 相交于 A ， B 两点，且 PB
2PA ，则
点 A 到圆 P 上任意一点的距离的最大值为（
）
．
A． 13 1
B
． 13
C
7
D
． 7
2 6 3 2
12. 设函数 f ( x) 是定义在 ( ,0) 上的可导函数，其导函数为
）
f '(x) ，且有 2 f (x) xf '(x) x2 ，则不等式
( x
2024)2 f ( x 2024) 4 f ( 2) 0 的解集为（
B D
A． ( 2024,0) C． ( 2016,0)
． ( ． (
, 2024) , 2016)
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中对应题后后的横线上.
13. 已知向量 a ， b 满足 a 5 ， a b
已知14.
6 ， a b
4 ，则向量 b 在向量 a 上的投影为
．
Sn 是数列 { an } 的前 n 项和，且 log3 (Sn 1) n 1 ，则数列 { an } 的通项公式为
ABC 的底面 ABC 是等腰三角形，
．
15. 三棱锥 P C
．
120 ，侧面 PAB 是等边三角形且与底面
ABC 垂直，
AC 2 ，则该三棱锥的外接球表面积为
16. 已知 f ( x) 是以 2e 为周期的 R 上的奇函数，当 程 f ( x) kx 恰好有
x (0, e) ， f ( x) ln x ，若在区间 [ e,3 e] ，关于 x的方
4 个不同的解，则 k 的取值范围是
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知锐角
.
ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 a
3 ， sin B
sin A sin C
b c . a b
（ 1）求角 A 的大小； （ 2）求 b c 的取值范围 .
18. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， 已知 PA AC
2 ， PAD
DAC 60 ，
CE AD 于 E .
3
（ 1）求证： AD （ 2 ）若平面 PAD
PC ；
平面 ABCD ，且 AD 3 ，求二面角 C PD A 的余弦值 .
更多的电子产品逐步走入大家的世界，
给大家带来了丰富多彩的生活，
19. 随着电子产品的不断更新完善，
但
并对
也带来了一些负面的影响，
某公司随即抽取 1000 人对某电子产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，
参与调查的 1000 人中的年龄层次以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：
30 岁以下
认为某电子产品对生活
有益
认为某电子产品对生活
无益 总计
30 岁或 30 岁以上
总计
400
300
700
100
200
300
500 500 1000
（ 1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过 （ 2）为了答谢参与问卷调查的人员，
0.1% 的前提下，认为电子产品的态度与年龄有关系？
奖金额以及发放的概
该公司对参与本次问卷调查的人员进行抽奖活动，
率如下：
奖金额
0 元（谢谢支持）
0.5
10 元 0.4
20 元
概率
0.1
Y ，求 Y 的分布列和数学期望
.
现在甲、乙两人参与了抽奖活动，记两人获得的奖金总金额为
参与公式： K
2
n( ad bc)2 b)(c d)(a c)(b d )
(a
临界值表：
P( K 2 k0 )
0.10 2.706
0.05 3.841
1(a b
0.025 5.024
0) .
0.010 6.635
0.005 7.879
0.001
k0
20. 已知椭圆 C ：
10.828
x2
y2
b2
a2
（ 1）若椭圆的离心率为
1 2
，且过右焦点垂直于长轴的弦长为
3，求椭圆 C 的标准方程；
4
（ 2）点 P(m,0) 为椭圆长轴上的一个动点，过点
2
P 作斜率为 的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点，试判断
b
2
a
PA PB 是为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因
x ln x ax .
.
21. 已知函数 f ( x)
（ 1）求函数 f ( x) 的单调区间； （ 2）设函数 g( x)
(x k )ex k ，k Z ，e 2.71828
为自然对数的底数
. 当 a 1 时，若 x1 (0,
) ，
x2 (0, ) ，不等式 g(x2 ) 5 f (x1 ) 0 成立，求 k 的最大值 .
请考生在 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，曲线 M的参数方程为xsin cos
（
y sin 2
极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线 N 的极坐标方程为：
（ 1）若曲线 N 与曲线 M 有两个不同的公共点，求
t 的取值范围；
（ 2）当 t 2 时，求曲线 M 上的点与曲线 N 上点的最小距离 . 23. 选修 4-5 ：不等式选讲
已知函数
f (x) 2x 2 x 1 ， x
R .
（ 1）求 f ( x) 1的解集；
（ 2）若 f ( x) x a 有两个不同的解，求 a 的取值范围 .
5
.
为参数） ，若以该直角坐标系的原点 O 为
sin2
t （其中 t 为常数） .
4
2
2024 届高三·十四校联考 第二次考试
数学（理科）参考答案
一、选择题
1-5: DBDBA 二、填空题
6-10: CCDBA 11 、 12：AB
13.
1
14.
an
8, n 1
15.
20
16.
,
1 e
1 1
,
2 3n , n 2
3e e
三、解答题
17. 【解析】（ 1）由
sin B
sin Ac
b 及正弦定理得 (b a)(b
a) (b
c)c，
sin C a b
所以 a2
b2
c2
bc
cos A
1 ， A
.
2 3
（ 2） a3
a
b
， A
，所以
c
3
2 ，
3
sin A
sin B
sin C
sin
3
b
c 2(sin B sin C ) 2 sin B sin
2 B
2 3 cos B
，
3
3
ABC 为锐角三角形， B 的范围为
, ，则 B
, ，
6 2
3 6 6
∴ cos.
B
的取值范围是3
,1 ，∴ b c
3,2 3
3
2
18. 【解析】（ 1）连接 PE ，
∵ PA AC ， PAD
CAD ， AE 是公共边，
∴ PAE CAE ， ∴
PEA
CEA ，
∵ CE
AD ，∴ PE
AD ，
又 PE 平面 PCE ， CE
平面 PCE ， PE CE
E ，
∴ AD
平面 PCE ，
又 PC 平面 PCE ， ∴
AD PC .
（ 2）法一：过 E 作 EF
PD 于 F ，连接 CF ，
∵平面 PAD
平面 ABCD ， CE 平面 ABCD ，平面 PAD 平面 ABCD
AD ，
6
AD ， CE
∴ CE 平面 PAD ，又 PD 平面 APD ，
∴ CE PD ，又 PD
EF ，
∴ PD
平面 CEF ，
∴ CFE 为二面角 C PD A 的平面角，
∵ PA AC 2 ， PAD
CAD
60 ， PE AD ， CE
AD ，
∴ AE
1 ， PE CE
3 ，又 AD
3，所以 DE
2 ，
，∴ PD21
7
EF
2
， tan EFC
7 ，
7
2
∴二面角 C
PD
A 的余弦值为
2 11
.
11
法二：由 AD 平面 PEC ，平面 PAD 平面 ABCD ，
所以 EP ， EA ， EC 两两垂直，以
E 为原点， EA ， EC ， EP 分别为 x 轴，
系，如图所示 .
因为 PA AC 2 ， PAD
CAD 60 ， AD
3 ，
所以 AE
1 ， PE
CE 3 ， DE
2 ，
则 E(0,0,0) ， D ( 2,0,0) ， C(0, 3,0) ， P(0,0, 3) ， DP
(2,0, 3) ，设平面 PCD 的法向量为 n
( x, y, z) ，
n DP 0 3z
则
，即2x 0
，令 x
3 ，则 n (
3,2,2) ，
n DC
0
2x
3 y 0
又平面 PAD 的一个法向量为 EC (0, 3,0) ，
设二面角 C
PD A 所成的平面角为
，
7
y 轴， z 轴建立空间直角坐标 DC (2, 3,0) .
则 cos
EC n EC n 2 3 3 11
2 11 ， 11
显然二面角 C PD
A 是锐角，故二面角 C PD
A 的余弦值为
2 11
11
.
19. 【解析】（ 1）依题意，在本次的实验中，
K 2 的观测值 k
1000 (400 200 300 100) 2 700 300 500 500
47.619 10.828 ，
故可以在犯错误的概率不超过
0.1% 的前提下，认为对电子产品的态度与年龄有关系.
（ 2） Y 的可能取值为 0 ， 10 ， 20 ， 30 ， 40 ，
P(Y
0) 20)
1 1 2 2
2 2 5 5 2 1
， P(Y
1
10)
1 2
，
2 5
2
2 5
，
P(Y
4 1 1
2
13
P(Y
30) 40)
P(Y
5 10 1 1
50 2 10
2 2 ，
25 1
，
10 10
Y P
100 0 1
4
10
5
20 13 50
30 2 25
40 1 100
2
E (Y) 12 .
20. 【解析】（ 1） e
1 2
，即
c a
1 2
， a
2c ，
不妨令椭圆方程为
x2 4c3 2
2
y2 3c2
1，
当 x
c时， y ，得出 c 1 ，
所以椭圆的方程为
x2
y 3
2
1.
4
8
（ 2）令直线方程为b y
( x
m) 与椭圆交于 A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) 两点，
b
a
y ( x
m)
联立方程
a 得 2b2 x2
2b2 mx b2m2
a2b2 ，
x2 y2
a
2
b
2
1
即 2x2
2mx m2 a2
0 ，
∴ x1
x2 m， xm2
a2 1x2
，
2
2
2
∴ PA
PB
(x1 m)2
y1 2 ( x2 m)2 y22
( xm)2 1 b2
( x
m) 2
1
b2 1
a2
2
a2
1 b2 [( x m)2 (x m) 2 ] a2 b2 ( x 2 x 2 )
a2 1 2 1 2
a2
a2 b2 [( x1 x2 ) 2 2x1x2 ]
a2 b2 为定值 .
a2
21. 【解析】（ 1）对函数求导得 f '( x) ln x 1
a(x
0) ，
令 f '( x) 0 ，得 x
ea 1 ，
当 0 x
ea 1 时， f '( x) 0 ，此时函数 f (x) 单调递减；
当 x
ea 1时， f '( x) 0 ，此时函数 f ( x) 单调递增，
所以函数 f (x) 的单调递减区间是 (0,ea 1
) ，单调递增区间是 (ea 1 , ) . （ 2）当 a
1 时，由（ 1）可知 f ( x) f (ea 1 )
f (1)
1，
x2 x1 (0, ) ，(0,
) ，不等式 5 f ( x1 ) g( x2 ) 0 成立等价于当 x (0, 5 (x k )ex k
0 恒成立，
即 5 xex k(ex 1) 对 x (0, ) 恒成立，
因为 x
(0,
) 时 ex 1 0，
所以 k
5 x xex 对 x (0, ) 恒成立，
e 1
9
) 时，
即 k x
对 x (0, x
ex 1 x
5
) 恒成立，
x
设 h( x)
x 5 ， ex 1
则 h '(x)
ex (ex x 6) ，
(ex 1)2
x
令
( ) F x
(0,
6 ，则
，
e
x
F '(x) e
0 ，
1
当 x ) 时， F '(x)
所以函数 F ( x) 而
ex x 6 在 (0,
) 上单调递增，
F (2) e2 8 0 ， F (3) e3
0 ，
9 0 ，
所以 F (2) F (3)
所以存在唯一的 当 x 当 x
x0 (2,3) ，使得 F (x0 )
0 ，即 ex x0 6 ，
0
(0, x0 ) 时， F ( x) 0 ， h '( x) 0 ，所以函数 h( x) 单调递减； ( x ,
0
) 时， F ( x)
0 ， h '( x) 0 ，所以函数 h(x) 单调递增，
所以当 x 因为 h( x0 )
x0 时，函数 h( x) 有极小值 h( x0 ) ，同时也为最小值，
x0
x0 5
x 1
0
(3,4) ，
ex0
1
又 k h(x0 ) ，且 k Z ， 所以 k 的最大整数值是
3.
22. 【解析】（ 1）由已知 M ： y
x2 1 ， x
5 , 4
2, 2 ； N ： x y t .
联立方程有两个解，可得
t
2
1 .
（ 2）当 t
2 时，直线 N ： x
2
y
2 ，设 M 上的点为 ( x0 , x0
2
1) ， x0
2 ，则 d
x0 2 x0 1
2
x0
1 2
3 4
3 2 8
2
，当 x0
1 2
时取等号，满足
x
2 ，所以所求的最小距离为
3 2
8
.
0
x x
3, x
3, x
1
23. 【解析】（ 1） f ( x)3x
1, 1 x
1
1，
10
若 f ( x) 1，
可得 { x | 4 x
0} .
（ 2）结合图象易得
1 a 3 .
11
湖南省十四校2024届高考第二次联考数学(理)试题含答案.docx
