2019最新高等数学期末考试试题（含答案）
一、解答题
1．求下列曲线的拐点：
(1) x?t2,y?3t?t3;
dy3?3t2d2y3(t2?1)?, 2?解： 3dx2tdx4td2y令2?0，得t=1或t=－1 dx则x=1，y=4或x=1，y=－4
d2y当t>1或t<－1时，2?0，曲线是凹的，
dxd2y当0 dx故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4). (2) x=2acotθ， y=2asin2θ. 解： dy2a?2sin??cos?3???2sin?cos? 2dx2a?(?csc?)d2y11224?(?6sin?cos??2sin?)???sin4?cos2(3?tan2?) 22dx2a(?csc?)ad2yππ令2?0，得??或???， dx33d2yππ不妨设a>0，不失一般性，当3?tan???3时，即????时，2?0， dx33d2yππ 当tan??3或tan???3时，即???或??时，2?0, dx33 故当参数??ππ?233??233?或???时，都是y的拐点，且拐点为?a,a?及??a,a?. 332??32??3 2．某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为5%（每年），若打算10年后攒够5万元，问每年应以均匀流方式存入多少钱？ 解：设每年以均匀流方式存入x万元，则 5= 10?0xe(10?t)0.05dt 即 5=20x(e0.5?1) x?14(e0.5?1)≈0.385386万元=3853.86元． 习题六 3．某企业投资800万元，年利率5%，按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期． 解：投资20年中总收入的现值为 y??800e?5%tdt?纯收入现值为 200(1?e?5%?20)05% ?400(1?e?1)?2528.4 (万元)20R=y－800=2528.4－800=1728.4(万元) 收回投资，即为总收入的现值等于投资, 故有 200(1?e?5%?T)?8005% 12005T?ln =20ln =4.46 (年).5 0?800?5%4 4．设有一半径为R，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m的质点，试求细棒对该质点的引力。 解：如图22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段ds对质点N的引力的近似值即为引力元素 （图22） km?dskm?km??(Rd?)?d?R2R2R km?dFx?dFcos??cos?d?,RdF?则 ?km?km?2km??Fx??2?cos?d??2?2cos?d??sin0?RRR22?dFy?dFsin??km?sin?d?R 则 Fy?km????2Rsin?d??0. 2?故所求引力的大小为 2km??sin，方向自N点指向圆弧的中点。 R2 5． 10 求曲线段y=x3(0?x?1)绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积． 2解：D=2???y1+y′dx 34=2???x1+9xdx 0 1 ?2?42=·(1+9x)? 1830 3 1 = ? (1010?1)． 27 6． 求半径为R，高为h的球冠的表面积． RR?h 解：D=2??? x1+x′2dy ??=2??2Rcosθ(Rcosθ)′2+(Rsinθ)′2dθ ? ?arcsinR?h R ??=2??2R2cosθdθ ? ?arcsinR?h R?2arcsin =2?R2[sinθ]=2?Rh． R?h R 7． 设星形线的参数方程为x=acos3t，y=asin3t，a>0求 d) 星形线所围面积； e) 绕x轴旋转所得旋转体的体积； f) 星形线的全长． ?asin3td(acos3t) 解：(1)D=4?ydx=4???0 ? a 2 0 =12a2=12a2 ??sin4tcos2tdt ?2?0 ??(sin4t?sin6t)dt =3?a2． ?28?0
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