第五章 三角函数 5.4.3 正切函数的图像与性质
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.3 正切函数的图 像与性质。本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象与性质学习的经验，通过运用数形结合 的思想方法和类比思想，对正切函数的图像与性质进行研究，并应用函数性质解决问题。是学生对 函数学习方法掌握情况的一次大检阅。因此注意对学生研究函数方法的启发，本节的学习有着极其 重要的地位。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标 1.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性。并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。 2.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。 3.通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。 学科素养 a.数学抽象：函数性质的总结； b.逻辑推理：由正切函数性质解决y＝Atan(ωx＋φ)的性质； c.数学运算：运用函数性质解决问题； d.直观想象：函数图像与函数性质相对应； e.数学建模：正切函数的性质及应用；
教学重点：正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性 教学难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。
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教学过程 设计意图 核心教学素养目标 通过对函数学习的回顾，提出研究正切函数图像与性质的方法，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素??（一）创设问题情境 提出问题 （１）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象 与性质？ （２）你能用不同的方法研究正切函数吗？ 有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象． 问题探究 1. 周期性 由诱导公式tan(??+π) =tan??，??∈R，且?? ≠+kπ， k ∈Z,可知，正切2??函数是周期函数，周期是π． 2.奇偶性 由诱导公式tan(???)=?ta????， ??∈R，且?? ≠2+kπ， k ∈Z， 可知，正切函数是奇函数． 你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？ 可以先考察函数y=ta????, ?? ∈[0,??) 的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展． 如何画出函数y=ta????, ?? ∈[0,) 的图象的图象？ ??????养。 如图5.4.9，设?? ∈[0,??) ，在直角坐标系中画出角??的终边与单位圆的交点B（??0, ??0）过点B作??轴的垂线，垂足为M；过点A（１，０）作??轴的垂线与角??的终边交于点T，则 ta????=??0=????=????= ????；由此可见，当 ?? ∈[0,??)时，线段AT的长度就0??????????????是相应角??的正切值．我们可以利用线段AT画出函数y=ta????, ?? ∈[0,)的图象，如图5.4.10所示．观察图5.4.10可知， ???? 2
当?? ∈[0,) 时，随狓??的增大，线段AT的长度也在增大，而且当??趋向???? 通过对正弦函数图像的分??于??时，AT的长度趋向于无穷大．相应地，函数y=ta????, ?? ∈[0,??)的图象从左向右呈不断上升趋势， 且向右上方无限逼近直线?? ＝ ??????析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？ 正切函数的图象有怎样的特征？ 根据正切函数是奇函数，只要画y=ta????, ?? ∈[0,??) 的图象关于原点的对称图形，就可得到y=ta????, ?? ∈(-,0]的图象；根据正切函数的??????周期性，只要把函数y=ta????, ?? ∈(-??, ??)的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数??∈R，且?? ≠+kπ， k ∈Z的图象，我2??????们把它叫做正切曲线（tangentcurve）（图5.4.11）． 从图5.4.11可以看出，正切曲线是被与??轴平行的一系列直线??=??2 +kπ， k ∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的． ３.单调性 观察正切曲线可知，正切函数在区间(-??, ??)上单调递增． ???? 3
由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间 (-??+k??, ?? +k??),k∈Z,上都单调递增． ４.值域 当?? ∈(-, )时，ta????在（－∞，＋∞）内可取到任意实数值，但没有???????????? 通过对正切函数图像与性质的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 通过对典型最大值、最小值．因此，正切函数的值域是实数集R． 典例解析 例６. 求函数??=??????(2??+3)的定义域、周期及单调区间． 分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论． 解：自变量??的取值应满足; ??+3 ≠2+kπ,k∈Z；即;?? ≠3+2k,k∈Z 2所以，函数的定义域是{??|?? ≠+2k,k∈Z } 31π????1π??设z=2??+3，又??????(??+??)=????????， 所以tan?[(??+)+??]=??????(??+) 2323即; tan?[(??+2)+]=??????(??+) 2323因为???∈{??|?? ≠+2k,k∈Z }, 31π??π??π??π??π??都有tan?[2(??+2)+3]=??????(2??+3) 所以，函数的周期为２． 由?2+????<2??+3 < 2+????,k∈Z 解得；?+2??0)的单调区间时，由kπ－<ωx＋φ 4 A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1] C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 【解析】 根据函数的单调性可得． 【答案】 B ππx＋?的定义域是________，f??＝________. 2．函数f(x)＝tan??6??6?πππ【解析】 由题意知x＋≠kπ＋(k∈Z)，即x≠＋kπ(k∈Z)． 623??ππππx≠kπ＋，k∈Z?，且f??＝tan?＋?＝3. 故定义域为?x?3?6??66???????π?? 3 x≠kπ＋，k∈Z【答案】 x?3??3．函数y＝－tan x的单调递减区间是________． 【解析】 因为y＝tan x与y＝－tan x的单调性相反， ππ－＋kπ，＋kπ?(k∈Z)． 所以y＝－tan x的单调递减区间为?2?2?ππ－＋kπ，＋kπ?(k∈Z) 【答案】 ?2?2?4．函数y＝|tan x|的周期为________． 【解析】 作出y＝|tan x|的图象，如图所示． 通过练习巩固本节所学知识，巩固对正切函数图像与性质的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。 由图可知，函数y＝|tan x|的最小正周期是π. 【答案】 π 1π?5．(1)求函数y＝tan??2x－4?的单调区间； 13π12π－?与tan?－?的大小． (2)比较tan??4??5?π1πππ3π【解】 (1)由kπ－ 5
第五章 三角函数 5.4.3 正切函数的图像与性质
