全国高中数学联赛模拟试题（八）
第一试
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1、设logab是一个整数，且loga1?b?a2； b③0＜a＜b＜1； 其中正确结论的个数是 （A）1 （B）2
1?logab?logba2，给出下列四个结论 b①
②logab+logba=0； ④ab?1=0． （C）3
（D）4
?a2?a?2b?2c?02、若△ABC的三边长a、b、c满足?，则它的最大内角度
?a?2b?2c?3?0数是
（A）150°
（B）120° （C）90° （D）60°
2b2x2y23、定长为l（l?）的线段AB的两端点都在双曲线2?2?1（a＞0，
aabb＞0），则AB中点M的横坐标的最小值为 （A）
al2a?b22 （B）
a?l2a?b22
（C）
a?l?2a?2a?b22 （D）
a?l?2a?2a?b22
4、在复平面上，曲线z4+z=1与圆|z|=1的交点个数为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
5、设E={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x?4}是直角坐标平
??x1?x2y1?y2??,面上的两个点集，则集合G=????x1,y1??E,?x2,y2??F?所22????组成的图形面积是
（A）6 （B）2? （C）6.5 （D）7
6、正方形纸片ABCD，沿对角线AC对折，使D在面ABC外，这时DB与
面ABC所成的角一定不等于 （A）30° （B）45° （C）60° （D）90°
二、填空题：（每小题9分，共54分）
1
nis?nis?nis?nis????的值等
24ocs4?ocs3?ocs3?ocs2?ocs2?ocs?ocs?于 ．
111????2、1?= ． 1?21?2?31?2?3???20043、在Rt△ABC中，AB＝AC，以C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的
另一个焦点在AB内，且椭圆过A、B点，则这个椭圆的离心率等于 ． 4、从{1,2,3,…,20}中选出三个数，使得没有两个数相邻，有 种
不同的选法．
1、已知???，则
??z?z?z?a?bi5、设a、b均为正数，且存在复数z满足?，则ab的最大值
??z?1等于 ．
8n7?对惟一的一个整数k成立的最大正整数n为 ．6、使不等式?
15n?k13
三、（20分）
已知实数x、y满足x2+y2≤5．求f(x,y)=3|x+y|+|4y+9|+|7y?3x?18|的最
大值与最小值．
四、（20分）
经过点M(2,?1)作抛物线y2=x的四条弦PiQi(i=1,2,3,4)，且P1、P2、
P3、P4四点的纵坐标依次成等差数列．
求证：
P1MP2MP3MP4M． ???MQ1MQ2MQ3MQ4五、（20分）
n为正整数，r＞0为实数．证明：方程xn+1+rxn?rn+1=0没有模为r的
复数根．
2
第二试
一、（50分）
设C(I)是以△ABC的内心I为圆心的一个圆，点D、E、F分别是从
I出发垂直于边BC、CA和AB的直线C(I)的交点．
求证：AD、BE和CF三线共点．
二、（50分）
非负实数x、y、z满足x2+y2+z2=1． 求证：1≤
xyz??≤2． 1?yz1?zx1?xy三、（50分）
对由n个A，n个B和n个C排成的行，在其下面重新定义一行（比
上面一行少一个字母），若其头上的两个字母不同，则在该位置写上第三个字母；若相同，则写上该字母．对新得到的行重复上面的操作，直到变为一个字母为止．下面给出了n=2的一个例子．
A C B C B A B A A A C C A A B B A C C B A
求所有的正整数n，使得对任意的初始排列，经上述操作后，所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同，要么两两不同．
3
全国高中数学联赛模拟试题8附答案
