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NCS项目第一次模拟测试卷
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的． 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 D 5 C 6 A 7 D 8 B 9 B 10 A 11 C 12 D 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．
13.
31; 14. ; 15. (3?2)?; 16. 9
23三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17.【解析】（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d，
由S3?S4?S5可得：a1?a2?a3?a5，即3a2?a5，------- 2分 所以3(1?d)?1?4d，解得d?2.------- 4分
? an?1?(n?1)?2?2n?1.------- 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：bn?(?1)n?1?(2n?1).
?(?2)?n??2n. ------ 12分
18.【解析】（Ⅰ）365b?73，?b?0.2，又a?b?0.3
故a?0.1，x?10,y?20 ------- 4分
（Ⅱ）补全直方图如图所示 -------8分
由频率分布直方图，可估算这100天空气质量 指数监测数据的平均数为：
25?0.1?75?0.2?125?0.25?175?0.2?225?0.15?275?0.1?145.------- 12分
19.【解析】（Ⅰ）方法一：连AG交PD于H,连接CH.
由梯形ABCD，AB//CD且AB?2DC，知又E为AD的中点，G为?PAD的重心，∴在?AFC中，
AF2? FC1AG2? ------- 2分 GH1AGAF2??,故GF//HC.------- 4分 GHFC1又HC?平面PCD,GF? 平面PCD,∴GF//平面PDC.------- 6分
1
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方法二：过G作GN//AD交PD于N,过F作FM//AD交CD于M,连接MN,
G为?PAD的重心，
223GNPG2, ??,?GN?ED?33EDPE3又ABCD为梯形，AB//CD,?CD1CF1?,??------- 2分 AB2AF2?23MF1 ∴GN?FM------- 4分 ?,?MF?3AD3又由所作GN//AD，FM//AD得GN//FM ，?GNMF为平行四边形.
?GF//MN,GF?面PCD，MN?面PCD,?GF//面PDC ------- 6分
方法三：过G作GK//PD 交AD于K,连接KF,GF,
由?PAD为正三角形, E为AD的中点，G为?PAD重心， 21得DK?DE，?DK?AD------- 2分
33又由梯形ABCD，AB//CD，且AB?2DC， 知
AF21?,即FC?AC ------- 4分 FC13∴在?ADC中， KF//CD，所以平面GKF//平面PDC 又 GF?平面GKF，∴GF//面PDC ------- 6分
（Ⅱ） 方法一:由平面PAD?平面ABCD，?PAD与?ABD均为正三角形，E为AD的中点
∴PE?AD，BE?AD，得PE?平面ABCD，且PE?3
1由（Ⅰ）知GF//平面PDC，∴VG?PCD?VF?PCD?VP?CDF??PE?S?CDF ------- 8分
312又由梯形ABCD，AB//CD，且AB?2DC?23，知DF?BD?3
3313又?ABD为正三角形，得?CDF?ABD?60，∴S?CDF??CD?DF?sin?BDC?，-- 10分
2213得VP?CDF??PE?S?CDF?
32∴三棱锥G?PCD的体积为3．------- 12分 2方法二: 由平面PAD?平面ABCD，?PAD与?ABD均为正三角形，E为AD的中点
∴PE?AD，BE?AD，得PE?平面ABCD，且PE?3
2
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2221由PG?PE，∴VG?PCD?VE?PCD?VP?CDE???PE?S?CDE ------- 8分
3333133而又?ABD为正三角形，得?EDC?120，得S?CDE??CD?DE?sin?EDC?．----- 10分
2421213333∴VP?CDF???PE?S?CDF???3?，∴三棱锥G?PCD的体积为．---- 12分 ?333342220.【解析】（Ⅰ）设点A1(?a,0),F2(c,0)，由题意可知：c?又因为椭圆的离心率e??a?4，即a?4?2c ① 2c1?，即a?2c ② a2联解方程①②可得：a?2,c?1，则b2?a2?c2?3 所以椭圆C的方程为x?24y2?1．------- 6分 3（Ⅱ）方法一：要证以G点为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．只需证GF2?x轴，即
证xG?1．------- 7分
?y?k(x?4)?证明：设M(x1,y1),N(x2,y2)，联解方程?x2y2
??1?3?4可得：(3?4k2)x2?32k2x?64k2?12?0,??0．
32k264k2?12由韦达定理可得：x1?x2?，x1x2? （*） ------- 9分
3?4k23?4k2因为直线lAM:y?1y1y2(x?2)，lA2N:y?(x?2) x1?2x2?2即证：
3y1?y2，即3k(x1?4)?(x2?2)??k(x2?4)?(x1?2)． ?x1?2x2?2即证4x1x2?10(x1?x2)?16?0．------- 11分
4?(64k2?12)10?32k2将（*）代入上式可得??16?0?16k2?3?20k2?3?4k2?0． 223?4k3?4k此式明显成立，原命题得证．
所以以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．------- 12分 方法二：设M(x1,y1),N(x2,y2),G(x3,y3)，x1,x2,x3两两不等，
2x12x23(1?)3(1?)y1y2y12y224?4， ????因为B,M,N三点共线，所以222x1?4x2?4(x1?4)(x2?4)(x1?4)(x2?4)2整理得2x1x2?5(x1?x2)?8?0．------- 8分
3
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又A1,M,G三点共线，有：
又A2,N,G三点共线，有：①与②两式相除得：
2x23(1?)(x1?2)2x3?2y2(x1?2)x3?22y22(x1?2)2(x2?2)(x1?2)4 ??()?2??x3?2y1(x2?2)x3?2(x1?2)(x2?2)y1(x2?2)2x1223(1?)(x2?2)4y3y?1 ① x3?2x1?2y3y2 ② ?x3?2x2?2即(x3?22(x2?2)(x1?2)x1x2?2(x1?x2)?4，------- 10分 )??x3?2(x1?2)(x2?2)x1x2?2(x1?x2)?452将2x1x2?5(x1?x2)?8?0即x1x2?(x1?x2)?4?0代入得(解得x3?4（舍去）或x3?1．------- 11分
x3?22)?9， x3?2所以GF2?x轴，即以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．------- 12分 方法三：显然l与x轴不垂直，设l的方程为y?k(x?4)，M(x1,y1),N(x2,y2). ?y?k(x?4)?由?x2y2得(3?4k2)x2?32k2x?64k2?12?0,??0.
?1??3?4设M(x1,y1),N(x2,y2),G(x3,y3)，x1,x2,x3两两不等，
121?4k232k264k2?122则x1?x2?，x1x2?，|x1?x2|?(x1?x2)?4x1x2?----- 9分
3?4k23?4k23?4k2yy由A1,M,G三点共线，有：3?1 ①
x3?2x1?2由A2,N,G三点共线，有：①与②两式相除得：
y3y2? ②， x3?2x2?2x3?2y2(x1?2)k(x2?4)(x1?2)x1x2?(x1?x2)?3(x1?x2)?81?????． x3?2y1(x2?2)k(x1?4)(x2?2)x1x2?3(x1?x2)?(x1?x2)?83------- 10分
解得x3?4（舍去）或x3?1，------- 11分
所以GF2?x轴，即以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．------- 12分
（2x?4)ex?(x?2)2， 21.【解析】（Ⅰ）当a?1时，有f(x)?（2x?2)ex?2x?4?f'(0)??2?4?2．------- 3分 则f'(x)?4
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又因为f(0)??4?4?0，------- 4分
∴曲线y?f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y?0?2(x?0)，即y?2x．------- 6分 （Ⅱ）因为f'(x)?（2x?2)ex?2a(x?2)，令g(x)?f'(x)?（2x?2)ex?2a(x?2)
有g'(x)?2x?ex?2a（x?0）且函数y?g'(x)在x??0,???上单调递增 ------- 8分 当2a?0时，有g'(x)?0，此时函数y?f'(x)在x??0,???上单调递增， 则f'(x)?f'(0)?4a?2 （ⅰ）若4a?2?0即a?1时，有函数y?f(x)在x??0,???上单调递增， 2则f(x)min?f(0)?4a?4恒成立；------- 9分 （ⅱ）若4a?2?0即0?a?1时，则在x??0,???存在f'(x0)?0， 2此时函数y?f(x)在x?(0,x0) 上单调递减，x?(x0,??)上单调递增且f(0)?4a?4， 所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；------- 10分
当2a?0时，有g'(0)?2a?0，则在x??0,???存在g'(x1)?0，此时x?(0,x1)上单调递减，x?(x1,??)上单调递增所以函数y?f'(x)在x??0,???上先减后增．
又f'(0)??2?4a?0，则函数y?f(x)在x??0,???上先减后增且f(0)?4a?4． 所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；------- 11分 综上所述，实数a的取值范围为a?1． ------- 12分 222.【解析】（Ⅰ）曲线C1参数方程为???x?a?2t??y?1?2,∴其普通方程x?y?a?1?0，------- 2分
由曲线C2的极坐标方程为?cos2??4cos????0,∴?2cos2??4?cos???2?0 ∴x2?4x?x2?y2?0,即曲线C2的直角坐标方程y2?4x.------- 5分
?y2?4x??（Ⅱ）设A、B两点所对应参数分别为t1,t2，联解?x?a?2t得2t2?22t?1?4a?0
???y?1?2t5
NCS20170607项目第一次模拟测试卷文数 (1)
