2008?2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业
光电子方向量子力学试题（A卷）
题号 得分 一 二 三 总分 （说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分）
计分人： 复查人：
得分 一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）
1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率?、波长?之间的关系，其表达式为：
E=h?, p=h/? 。
3．根据波函数的统计解释，?(x,t)dx的物理意义为：粒子在x—dx范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x分量算符和动量的x分量算符px的对易关系为：?x,p??ih 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数?(x)所描写的状态时，测量某力学量
2评卷人 ?的 本征值 。 F所得的数值，必定是算符F7．定态波函数的形式为： ?(x,t)??n(x)e?iEnt?。
8．一个力学量A为守恒量的条件是：A不显含时间，且与哈密顿算符对易 。 9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
??S10．每个电子具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： ? 。
2
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得分 二、证明题：（每题10分，共20分）
评卷人 1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：
证明：
[L?x,L?y]?i?L?z[L?x,L?y]?[yp?z?zp?y,zp?x?xp?z]?[yp?z,zp?x?xp?z]?[zp?y,zp?x?xp?z]?[y?pz,zp?x]?[yp?z,xp?z]?[zp?y,zp?x]?[zp?y,xp?z]?[yp?z,zp?x]?[zp?y,xp?z]?y[?pz,zp?x]?[y,zp?x]p?z?z[p?y,xp?z]?[z,xp?z]p?y?y[p?z,zp?x]?[z,xp?z]p?y?yz[?pz,p?x]?y[p?z,z]p?x?x[z,p?z]p?y?[z,x]p?zp?y?y(?i?)?px?x(i?)p?y?i?[xp?y?yp?x]?i?L?z共 7 页 第 2 页
2、（10分）由Schr?dinger 方程
?h22rrrih?(r,t)?[???V(r)]?(r,t)?t2?
??证明几率守恒： ????J?0?t
其中几率密度 ? ( r , t ) ? ? ( r , t ) ? ( r , t ) ? | ? ( r , t ) | 几率流密度 J??????2?i?[?????????]2?证明：考虑 Schr?dinger 方程及其共轭式：
?h22ih??[???V]??t2???h22?ih??[???V]???t2?(1)(2)将???(1)???(2)式得：?????2i????i?????[???2????2??]?t?t2???2?i?（??）???[?????????]?t2?在空间闭区域τ中将上式积分，则有：
d?2?i??（??）d??dt?2?????[?????????]d?di??（??）d???dt??2?????[?????????]d???d?(r,t)d??????Jd????dt??????J?0?t
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得分 三、计算题：（共40分）
评卷人 1、（10分）设氢原子处于状态
?(r,?,?)?13R21(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?) 22求氢原子能量E、角动量平方L2、角动量Z分量LZ的可能值及这些可能值出现的几率。
解：在此状态中，氢原子能量有确定值 22 E?es?es2??2?2n2??8?2 角动量平方有确定值为
L2??(??1)?2?2?2 角动量Z分量的可能值为 LZ1?0LZ2??? 其相应的几率分别为
14， 34
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(n?2)，几率为1
(??1)，几率为1
???ihd 的本征值和本征函数。 L2、（10分）求角动量z分量 zd?
??(?)??i?d?(?)?l?(?)解： Lzzd?
i
解得：?(?)?ce?lz?
其中c是积分常数，亦可看成
归一化系数。
波函数单值条件，要求当φ 转过 2π角回到原位时波函数值相等，即：
il?il(??2?)
?z?z
il2?
?z
2?lz 于是?2?mm?0,?1,?2,??
?lz?m?m?0,?1,?2,?
求归一化系数
2?
|?|2d?0
2?2
?cd?0
?2?c2?1 1?c?
2?最后，得 Lz的本征函数
?(?)??(??2?)?ce?cee?1??
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?lz?m?????m(?)??1im?e2?m?0,?1,?2,?
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