高中数学专题强化训练3指数函数和对数函数北师大版必
修11
(教师独具) [合格基础练]
一、选择题
?1－x，x≥0
1．设f(x)＝?x?2，x<0
A．－1 1C. 2
，则f[f(－2)]＝( )
1B． 43D． 2
?1?C [f[f(－2)]＝f??＝1－?4?
1
1－x111＝1－＝.] 422
2．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A．y＝
B．y＝x D．y＝2
－x2
C．y＝ln(1＋x)
x?1?－xD [y＝2＝??在R上是减函数，故选D.]
?2?
3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2
－1|
|a)>f(－2)，则a的取值范围是( ) 1??A.?－∞，?
2??
1??3??B.?－∞，?∪?，＋∞? 2??2??
?13?C.?，?
?22??3?D.?，＋∞? ?2?
B [因为f(x)是偶函数，所以原不等式可化为f(－2又f(x)在(－∞，0)上单调递增， 1
2
|a－1||a－1|
则－2>－2，∴2<2，
|x－1|
)>f(－2)，
- 1 -
113
∴|a－1|<，∴ 222 4．下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( ) A．f(x)＝x 12 C．f(x)＝x 3 B．f(x)＝3 xx?1?D．f(x)＝?? ?2? x?1?xB [满足f(x＋y)＝f(x)f(y)的只有选项B与D，又f(x)＝??是减函数，f(x)＝3是增 ?2? 函数，故选B.] 5．若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( ) B [依题意，loga3＝1，∴a＝3. xy＝a－x＝??是减函数，故A错；y＝(－x)a＝－x3是减函数，故C错；y＝loga(－x)＝ 3 log3(－x)是减函数，故D错．而B符合题意，故选B.] 二、填空题 6．lg(lg 10)＝________. 0 [lg(lg 10)＝lg 1＝0.] 7．函数f(x)＝ax－2 ?1??? ＋3(a>0，且a≠1)的图像恒过定点________． 0 (2,4) [因为f(2)＝a＋3＝1＋3＝4，所以f(x)的图像恒过点(2,4)．] 8．已知3＝4＝12，则 aba＋b＝________. ab1ab2 [由3＝4＝12，得alg 3＝blg 4＝lg 12. 211lg 12lg 1222∴a＝，b＝， lg 3lg 4 - 1 - 11 lg 12lg 1222 ＋ lg 4a＋blg 3 ∴＝ ab11 lg 12lg 1222 ·lg 3lg 4＝ lg 4＋lg 3lg 12 ＝＝2.] 11lg 12lg 1222 三、解答题 9．已知1≤x≤10，且xy＝100，求(lg x)＋(lg y)的最大值． [解] 由xy＝100，得lg x＋2lg y＝2，∴lg x＝2－2lg y. 4?24?22222 ∴u＝(lg x)＋(lg y)＝(2－2lg y)＋(lg y)＝5(lg y)－8lg y＋4＝5?lg y－?＋. 5?5?100 ∵1≤x≤10，∴1≤2≤10， 2 2 2 2 y12 即10≤y≤100，∴≤lg y≤1. 2 115 当lg y＝，即y＝10时，u取最大值， 224100100100 此时x＝2＝＝＝10. y?101?210 ?2??? 10．若直线y＝2a与函数y＝|a－1|(a>0，且a≠1)的图像有两个公共点，求a的取值范围． [解] 当0 xx 图① 1 ∴0<2a<1，∴0 2 当a>1时，y＝|a－1|的图像如图②所示 x 图② - 1 - 由于2a>2，所以不可能有两个公共点． 1 综上所得0 2 [等级过关练] 1．为了得到函数y＝log3 x－3 3 的图像，只需要把函数y＝log3x的图像上所有的点( ) A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D [由对数的运算性质得log3 函数y＝log3 x－3 3 ＝log3(x－3)－log33＝log3(x－3)－1，所以，要得到 x－3 3 ，即y＝log3(x－3)－1的图像，只需把函数y＝log3x的图像向右平移3个 单位长度，再向下平移1个单位长度．] 2．设实数m满足条件3＝2，则下列关于m的范围的判断正确的是( ) A．－4 B．－3 m－3 1212m－3 C [因为3＝2，m＝－3log32，又3<8<9，所以3<2<3，所以 33333log32∈(－2，－1)，故选C.] ?1?x3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝??，则f(－2＋log35) ?3? ＝________. 5 － [因为－2＋log35<0且f(x)在R上为奇函数，所以f(－2＋log35)＝－f(2－log35) 9 x?1?4．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈(－2,0)时，f(x)＝??，?2? 则f(log28)＝________. - 1 - 2 [f(log28)＝f(3)＝f(2＋1)＝－f(2)＝－f(1＋1)＝f(1)，因为f(x)为R上的偶函数， ?1?－1 所以f(1)＝f(－1)＝??＝2， ?2? 故f(log28)＝2.] 1 5．设函数f(x)＝log3(9x)·log3(3x)，且≤x≤9. 9(1)求f(3)的值； (2)令t＝log3x，将f(x)表示成以t为自变量的函数，并由此求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x的值． [解] (1)f(3)＝log327·log39＝3×2＝6. 1 (2)∵t＝log3x，又∵≤x≤9， 9∴－2≤log3x≤2，即－2≤t≤2. 由f(x)＝(log3x＋2)·(log3x＋1)＝(log3x)＋3log3x＋2＝t＋3t＋2. 2 2 2 ?3?12 令g(t)＝t＋3t＋2＝?t＋?－，t∈[－2,2]． ?2?4 31 ①当t＝－时，g(t)min＝－， 24333 即log3x＝－，则x＝3－＝， 22913 ∴f(x)min＝－，此时x＝； 49②当t＝2时，g(t)max＝g(2)＝12， 即log3x＝2，x＝9， ∴f(x)max＝12，此时x＝9. - 1 -
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