第4讲 基本不等式及其应用
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题
1
1．(2014·泰安一模)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式①a＋b≥2ab；②a＋12ba22
＞；③＋≥2；④a＋b＞2ab中，恒成立的是________． bababbaba解析 因为ab＞0，即a＞0，b＞0，所以a＋b≥2答案 ③
11
2．(2014·杭州一模)设a＞0，b＞0.若a＋b＝1，则a＋b的最小值是______． 11a＋ba＋bba
解析 由题意a＋b＝a＋b＝2＋a＋b≥2＋2a1，即a＝b＝b2时，取等号，所以最小值为4. 答案 4
13．(2013·金华十校模拟)已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋a，1
n＝a＋b，则m＋n的最小值是________．
11
解析 由题意知：ab＝1，∴m＝b＋a＝2b，n＝a＋b＝2a， ∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4. 答案 4
4．(2012·陕西卷改骗)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a bab a×b＝4，当且仅当a＝ba a×b＝2. ∵a 2s a＋b s＝2ab2ab＝<＝ab. ?a＋b?sa＋b2ab 2sab ab－a2a2－a22ab 又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a. a＋ba＋ba＋b答案 a 5．(2014·兰州模拟)已知函数y＝x－4＋b，则a＋b＝________. 解析 y＝x－4＋ 999 ＝x＋1＋－5，由x＞－1，得x＋1＞0，＞0，x＋1x＋1x＋1 9 －5≥2x＋1 ?x＋1?× 9 －5＝1，当且仅x＋1 9 (x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值x＋1 所以由基本不等式得y＝x＋1＋当x＋1＝ 9 ，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，x＋1 b＝1，a＋b＝3. 答案 3 6．(2014·广州模拟)若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为________． 解析 (1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号． 答案 9 xy 7．已知x，y∈R＋，且满足3＋4＝1，则xy的最大值为______． xy 解析 ∵x＞0，y＞0且1＝3＋4≥2答案 3 8．函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn11 ＞0)上，则m＋n的最小值为________． xyxy，∴xy≤3.当且仅当123＝4时取等号． 解析 ∵y＝a1－x恒过点A(1,1)，又∵A在直线上， 11m＋nm＋nnm1 ∴m＋n＝1.而m＋n＝m＋n＝2＋m＋n≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝211 时，取“＝”，∴m＋n的最小值为4. 答案 4 二、解答题 111 9．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：a＋b＋ab≥8. 11111a＋b?11?证明 a＋b＋ab＝a＋b＋ab＝2?a＋b?， ??∵a＋b＝1，a＞0，b＞0， 11a＋ba＋bab ∴a＋b＝a＋b＝2＋b＋a≥2＋2＝4， 1111?? 当且仅当a＝b＝时等号成立?. ∴a＋b＋ab≥8?2??10．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. (1)求u＝lg x＋lg y的最大值； 11 (2)求x＋y的最小值． 解 (1)∵x>0，y>0， ∴由基本不等式，得2x＋5y≥210xy. ∵2x＋5y＝20，∴210xy≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因?2x＋5y＝20，?x＝5，此有?解得? ?2x＝5y，?y＝2，此时xy有最大值10. ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. ∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1. 5y2x?1?11?11?2x＋5y1?(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＝?x＋y?·20＝20?7＋x＋y?≥20?7＋2 ?????7＋2105y2x ，当且仅当20x＝y时，等号成立． 5y2x? ?＝x·y? 2x＋5y＝20，?? 由?5y2x ＝，??xy 1010－20?x＝，?3 解得? 20－410??y＝3. 7＋21011 ∴x＋y的最小值为20. 能力提升题组 (建议用时：25分钟) 一、填空题 1 1．(2014·郑州模拟)已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则a＋4b＋ab的最小值为 2 2 ________． 11解析 因为1＝a＋2b≥22ab，所以ab≤8，当且仅当a＝2b＝2时取等号．又1?1111?22因为a＋4b＋ab≥2a·4b＋ab＝4ab＋ab.令t＝ab，所以f(t)＝4t＋t在?0，8? ?? 2 2 1?1?17 单调递减，所以f(t)min＝f?8?＝2.此时a＝2b＝2. ??17 答案 2 21 2．已知x>0，y>0，且x＋y＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________． 21 解析 ∵x>0，y>0且x＋y＝1， 4yx?21?∴x＋2y＝(x＋2y)?x＋y?＝4＋x＋y ?? ≥4＋2 4yx4yx ·＝8，当且仅当xyx＝y， 即x＝4，y＝2时取等号， ∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立， 只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立， 即8>m2＋2m，解得－4 3．(2014·南昌模拟)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． ?x＋3y?2 ?，令x＋解析 由已知，得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤? ?2?3y＝t，则t2＋12t－108≥0，解得t≥6，即x＋3y≥6. 答案 6 二、解答题 4．(2013·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ (2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出) 解 (1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元， 则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50(0＜x≤10，x∈N)， 即y＝－x2＋20x－50(0＜x≤10，x∈N)， 由－x2＋20x－50＞0，解得10－52＜x＜10＋52. 而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出． (2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为 11?25??25? y＝x[y＋(25－x)]＝x(－x2＋19x－25)＝19－?x＋x?，而19－?x＋x?≤19－ ???? 25 2x·x＝9，当且仅当x＝5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．
创新设计高考数学苏教文一轮题组训练：基本不等式及其应用
