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范 文
2021年第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题
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及答案(精选)
2021 年第 30 届全国中学生物理竞赛复赛 考试试题及答案（精选） 一、（15分）一半径为 R 、内侧光滑的半球面固定在地 v0 面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点 处获得沿球面的水平速度，其大小为 v0 ( v0 0 ). 求滑块在 整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小 为g. 二、（20 分）一长为 2l 的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两 端分别固定一质量为 m 的小物块 D 和一质量为m （ 为常数）的小物块 B，杆可绕通过小物块 B 所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为 m 的小环 C 套在细杆上（C 与杆密接），可沿杆滑动，环 C 与杆之间的摩 擦可忽略. 一轻质弹簧原长为 l，劲度系数为 k，两端分别与小环 C 和物块 B 相连. 一质量为 m 的小滑块 A 在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块 D， 并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块 C 恰好静止在距轴 为 r （ r >l ）处. 1. 若碰前滑块 A 的速度为 v0 ，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量； 2. 若碰后物块 D、C 和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块 A 的速度 v0 应满足 的条件. 三、（25 分）一质量为 m 、长为 L 的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平 轴O 在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆， 1. 令 m 表示细杆质量线密度. 当杆以角速度 绕过其一端的光滑水平轴 L O 在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为 Ek k L
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式中， k 为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下，两物理量当 且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出 、 和 的值. 2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的 动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数 k 的 值. 3. 试求当杆摆至与水平方向成 角时在杆上距 O 点为 r 处的横截面两侧部 分的相互作用力. 重力加速度大小为 g . 提示：如果 X (t) 是 t 的函数，而 Y(X (t)) 是 X (t) 的函数，则Y(X (t)) 对 t 的导数 为 dY ( X (t)) dY dX dt dX dt 例如，函数 cos(t) 对自变量 t 的导数为 d cos (t) d cos d dt d dt 四、（20 分）图中所示的静电机由一个半径为 R 、与环境绝 缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器 G 组成. 质量为 m 、带电量为 q 的球形液滴从 G 缓慢地自由掉 下（所谓缓慢，意指在 G 和容器口之间总是只有一滴液滴）. 液滴开始下 落时相对于地面的高度为 h . 设液滴很小，容器足够大，容器在达到最高 电势之前进入容器的液体尚未充满容器. 忽略 G 的电荷对正在下落的液滴 的影响.重力加速度大小为 g . 若容器初始电势为零，求容器可达到的最高 电势Vmax . 五、（25 分）平行板电容器两极板分别位于 z d 的平面内，电容器起初未被充电. 整个 2 装置处于均匀磁场中，磁感应强度大小为 B ，方向沿 x 轴负方向，如图所示.
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1. 在电容器参考系 S 中只存在磁场；而在以沿y轴正方向的恒定速度 (0,v,0) （这里 (0,v,0) 表示为沿x、y、z轴正方向的速度分量分别为0、 v 、0，以下 类似）相对于电容器运动的参考系 S 中，可能既有电场 (Ex, Ey , Ez) 又有磁场 (Bx, By , Bz) . 试在非相对论情形下，从伽利略速度变换，求出在参考系 S 中 电场 (Ex, Ey , Ez) 和磁场 (Bx, By , Bz) 的表达式. 已知电荷量和作用在物体上的合力 在伽利略变换下不变. 2. 现在让介电常数为 的电中性液体（绝缘体）在平行板电容器两极板之 间匀速流动，流速大小为 v ，方向沿 y 轴正方向. 在相对液体静止的参考系 （即相对于电容器运动的参考系） S中，由于液体处在第1问所述的电场 (Ex, Ey , Ez) 中，其正负电荷会因电场力作用而发生相对移动（即所谓极化效 应），使得液体中出现附加的静电感应电场，因而液体中总电场强度不再 是 (Ex , E y , Ez ) ，而是 0 (Ex , Ey , Ez ) ，这里 0 是真空的介电常数. 这将导致在电容 器参考系 S 中电场不再为零. 试求电容器参考系 S 中电场的强度以及电容器 上、下极板之间的电势差. （结果用0 、 、 v 、 B 或（和） d 表出. ） 六、（15 分）温度开关用厚度均为 0.20 mm 的钢片 和青铜片作感温元件；在温度为 20C时，将它们紧 贴，两端焊接在一起，成为等长的平直双金属片. 若 钢 和 青 铜 的 线 膨 胀 系 数 分 别 为 1.0 105 / 度 和 2.0 105 /度. 当温度升高到120C 时，双金属片将自 动弯成圆弧形，如图所示. 试求双金属片弯曲的曲率半径. (忽略加热时金 属片厚度的变化. ) 七、（20
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分）一斜劈形透明介质劈尖，尖角为 ，高为 h . 今以尖角顶点为 坐标原点，建立坐标系如图(a)所示；劈尖斜面实际上是由一系列微小台阶 组成的，在图(a)中看来，每一个小台阶的前侧面与xz平面平行，上表面与
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