?b1??2?ab?6★解析： 5x?a?0?x?；6x?b?0?x?。要使A?B?N??2,3,4?，则?，
56?4?a?5?5??6?b?1211即?。所以数对?a,b?共有C6C5?30。 ?20?a?25
2004*三、（本题满分50分） )对于整数n?4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合?m.m?1,m?2,?,m?n?1?的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素。 ★解析：
⑴ 当n?4时，对集合M?m,n???m.m?1,m?2,?,m?n?1?，
当m为奇数时，m，m?1，m?2互质，当m为偶数时，m?1，m?2，m?3互质．即M的子集中存在3个两两互质的元素，故f(n)存在且f(n)?n． ①
取集合Tn??t|2|t,或3|t,t?n?1?，则T为M?2,n???2,3,?,n?1?的一个子集，且其中任3个数无不能两两互质．故f(n)?T?1．（T表示元素个数）
?????????1 ② 但T??．故f(n)?????????2??3??6??2??3??6?由①与②得，f(4)?4,f(5)?5，5?f(6)?6，6?f(7)?7，7?f(8)?8，8?f(9)?9． 现计算f(6)，取M??m,m?1,m?2,m?3,m?4,m?5?，若取其中任意5个数，当这5个数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数k,k?2,k?4(k?0(m0d2))时，其中至多有1个被5整除，必有1个被3整除，故至少有1个不能被3与5整除，此数与另两个奇数两两互质．故f(6)?5．
而M?m,n?1??M?m,n???m?n?，故f(n?1)?f(n)?1. ③ 所以f(7)?6，f(8)?7，f(9)?8．
?n?1??n?1??n?1??n?1??n?1??n?1??n?1??n?1??n?1??????1成立． ④ ???236??????设对于n?k④成立，当n?k?1时，由于
M?m,k?1??M?m,k?5???m?k?5,m?k?4,?,m?k?．
∴ 对于4?n?9，f(n)??在?m?k?5,m?k?4,?,m?k?中，能被2或3整除的数恰有4个，即使这4个数全部取出，只要在前面的M?m,k?5?中取出f(n)个数就必有3个两两互质的数．于是 当n?4时，f(n?6)?f(n)?4?f(n)?f(6)?1． 故f(k?1)?f(k?5)?f(6)?1???k?2??k?2??k?2??????1， ????2??3??6??n?1??n?1??n?1??????1成立． ????2??3??6?比较②，知对于n?k?1，命题成立．
?∴对于任意n?4，n?N，f(n)??又可分段写出结果：
?4k?1n?6k,k?N????4k?2n?6k?1,k?N???4k?3n?6k?2,k?Nf(n)?? ?4k?4n?6k?3,k?N??4k?4n?6k?4,k?N?????4k?5n?6k?5,k?N
2003*9、已知A?x|x?4x?3?0，B?x|2实数a的取值范围是 ◆答案：??4,?1?
1?x?2??1?x?a?0,x2?2(a?7)x?5?0,若A?B，则
?x2?51???7，★解析：由题意得A??1,3?；又a??2，因为?2???1,??；当x??1,3?时，a?
42x??x2?5x2?5
?7?5?7,?4．因为A?B，即?7?a??21?x恒成立，所以?4?a??1．因为
2x2x1?x??
2002*5、已知两个实数集合A??a1,a2,?,a100?与B??b1,b2,?,b50?，若从A到B的映射f使得
B中每个元素都有原象，且f(a1)?f(a2)???f(a100)则这样的映射共有 A.C100个 B. C99个 C. C100个 D. C99个
◆答案：D
★解析：不妨设b1?b2???b50，将A中元素a1,a2,?,a100按顺序分为非空的50组，定义映射
50484949f:A?B，使得第i组的元素在f之下的象都是bi (i?1,2,?,50)，易知这样的f满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f的个数与A按足码顺
4949序分为50组的分法数相等，而A的分法数为C99，则这样的映射共有C99，故选D。
2001*1、已知a为给定的实数，那么集合M?x|x?3x?a?2?0的子集的个数为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 不确定 ◆答案：C
★解析：方程x?3x?a?2?0的根的判别式??1?4a?0，方程有两个不相等的实数根．由
222?22?M有2个元素，得集合M有22?4个子集．
x?2?0，B?x|10x?2?10x，则A?CRB是( )
A.?2? B.??1? C. ?x|x?2? D.?
2000*1、设全集是实数，若A?x|◆答案：D
★解析：由题意得：A={2}，B={2，－1}，故选D．
1998*2、若非空集合A??x|2a?1?x?3a?5?,B??x|3?x?22?，则能使A?A?B成立的所有a的集合是( )
A.?a|1?a?9? B. ?a|6?a?9? C. ?a|a?9? D.?
???2?◆答案：B
★解析：即A?B，A??．所以3?2a?1?3a?5?22，解得6?a?9。故选B．
?1??1996*7、集合?x|?1?log110??,x?N?的真子集的个数是_____________________．
2x??◆答案：290?1
★解析：由已知，得1?lgx?2即10?x?100．故该集合有90个元素．其真子集有290?1个．
1,2,3,?,1995?，A是M的子集且满足条件:当x?A时，15x?A，则A中元素1995*12、设M??的个数最多是______． ◆答案：1870
★解析：因为1995=15×133．故取出所有不是15的倍数的数，共1862个，这此数均符合要求．
2
在所有15的倍数的数中，15的倍数有8个，这此数又可以取出，这样共取出了1870个．即
A?1870．又?k,15k?(k?9,10,11,?,133)中的两个元素不能同时取出，故A?1995?133?8?1870．综上A?1870
2????5??221994*9、已知点集A??(x,y)|(x?3)?(y?4)????，
??2????2??5????22B??(x,y)|(x?4)?(y?5)????，则点集A?B中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的
y??2????个数为__ ____．
(4,5)◆答案：7
(3,4)3★解析：如图可知，共有7个点，即(1，3)，(1，4)，
2(1， 5)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，2)共7点．
1
x3O12
2221993*1、若M??x,y?|tan?y?sin?x?0，N??x,y?|x?y?2，则M?N的元素个数
????是（ ）
A.4 B.5 C.8 D.9 ◆答案：D
★解析：对集合M，可得tan?y?0,sin?x?0，即y?k(k?Z)，x?m (m?Z)，M?N即圆x?y?2及圆内的整点数．共9个．选D．
1993*3、集合A,B的并集A?B??a1,a2,a3?，当A?B时，?A,B?与?B,A?视为不同的对，则这样的?A,B?对的个数是（ ）
A.8 B.9 C.26 D.27 ◆答案：D
★解析： a1?A或a1?A，有2种可能，同样a1?B或a1?B，有2种可能，但a1?A与a1?B不能同时成立，故有2?1种安排方式，同样a2,a3也各有2?1种安排方式，故共有22?1?272222??3种安排方式．选D．
1993*二、（本题满分35分）设A是一个有n个元素的集合，A的m个子集A1,A2,?,Am两两不包含。试证：⑴⑵
?Ci?1m1Ain?1
?Ci?1mAinA?m2，其中Ai表示Ai所含的元素个数， Cni表示从n个不同元素中取出Ai个的组合数。
★证明：
⑴ 即证：若k1?k2???km?n，则k1!?n?k1?!?k2!?n?k2?!???km!?n?km1?!?n!．
由于n!表示n个元素的全排列数，而ki!?n?ki?!表示先在这n个元素中取出ki个元素排列再把其其余元素排列的方法数，由于Ai互不包含，故k1!?n?k1?!?k2!?n?k2?!???km!?n?km1?!?n!成立．
?m1⑵ ∵??A?i?1Cin?mm??mAi?12Ai22???Cn???1?1???1??m．且0??C?m，故． ?1?nAi??i?1i?1?i?1Cn?
1992*二、（本题满分35分）
1,2,?,n?．若X是Sn的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”(规定空集的 设集合Sn??容量为0)，若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集．
1．求证：Sn的奇子集与偶子集个数相等．
2．求证：当n?3时，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和． 3．当 n?3 时，求Sn的所有奇子集的容量之和．
1?，当1?A时，取B?A???1，则B★证明：⑴ 对于Sn的每个奇子集A，当1?A时，取B?A\\?于是在Sn的奇子集与偶子集之间建立了一个一一对应，故Sn的奇子集与偶子集的个数相等. ⑵ 对于任一i?Sn，i?1，含i的Sn的子集共有2n?11?，当1?B时，取A?B???1，为Sn的偶子集.反之，若B为Sn的偶子集，当1?B时，取A?B\\?个，其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，
从而每个数i，在奇子集的和与偶子集的和中，i所占的个数是一样的.
而对于元素1，只要把Sn的所有子集按是否含有3配对(即在上证中把1换成3来证)，于是也可知1的奇子集与偶子集中占的个数一样，于是可知每个元素都是在奇子集中与偶子集中占的个数一样.所以Sn的所有奇子集的容量的和，与所有偶子集的容量的和相等. ⑶ 由于每个元素在奇子集中都出现2n?2次，故奇子集的容量和为
?1?2?3???n??2n?2?n(n?1)?2n?3．
221991*5．设S?(x,y)|x?y?奇数，x,y?R?，
T?(x,y)|sin(2?x2)?sin(2?y2)?cos(2?x2)?cos(2?y2)，x,y?R?，则( ) A．S?T B．T?S C．S?T D．S?T??
◆答案：A
22??★解析：若x?y为奇数，则sin2?x?sin2?y又若x?y时，sin2?x?sin2?y?cos2?x
1,2,?,1000?，现对M中的任一非空子集X,令aX表示X中最大数与最小1991*12．设集合M???2???22????2??cos?2?x??cos?2?y?成立，即S?T．
??cos?2?y?也成立，即得S??T，选A．
2222数的和．那么，所有这样的aX的算术平均值为 ． ◆答案：1001
★解析：对于任一整数n(0?n?1000)，以n为最大数的集合有2n?1个，以n为最小数的集合有以1001?n为最小数的集合则有2n?1个，以1001?n为最大数的集合则有21000?n个．故n21000?n个，
与1001?n都出现2n?1?21000?n次．
11000n?11000?n??1001??21000?1?． ∴ 所有aX的和为?1001??2?22n?1∴ 所求平均值为1001．
又解：对于任一组子集A??b1,b2,?,bk?，b1?b2???bk (1?k?1000)，取子集
A/??100?1b1,100?1b2,?,100?1bk?，若A?A/，则此二子集最大数与最小数之和为
b1?bk?1001?b1?1001?bk?2002，平均数为1001．若A?A/，则A本身的为1001． 由于每一子集均可配对．故所求算术平均数为1001．
1,2,?,n?，A为至少含有两项的公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加S1991*一、设S??的其他元素于A后不能构成与A有相同公差的等差数列．求这种A的个数(这里只有两项的数列也
看作等差数列)．
★解析：易知公差1?d?n?1．
设n?2k，d?1或d?n?1时，这样的A只有1个，d?2或d?n?2时，这样的数列只有2个，
……，d?k?1或k?1时，这样的数列有k?1个，d?kd?3或d?n?3时这样的数列只有3个，
时，这样的数列有k个．
∴ 这样的数列共有?1?2???k??2?k?k?212n个． 412n?1个． 4?12?个(或?n?个)．
?4?当n?2k?1时，这样的数列有?1?2???k??2?k(k?1)?n?1??n21???1??两种情况可以合并为：这样的A共有48?n?1,2,?,k?中，一在?k?1,k?2,?,n?解法二：对于k???，这样的数列A必有连续两项，一项在??2?中，反之，在此两集合中各取一数，可以其差为公差构成一个A，于是共有这样的数列
122当n?2k时，这样的A的个数为k?n个；当n?2k?1时，这样的A的个数为
41k(k?1)?n2?1个．
4?12?∴ 这样的数列有?n?个．
?4?解法一也可这样写： 设A的公差为d，则1?d?n?1． ⑴ 若n为偶数，则
n当1?d?时，公差为d的等差数列A有d个；
2n当?d?n?1时，公差为d的等差数列A有n?d个． 2??
1集合-1981-2019年历年数学联赛50套真题WORD版分类汇编含详细答案
