郑州衡中高中高考团队QQ6072275
第1讲变化率与导数
A组
一、选择题
1．过曲线y?f(x)?x图象上一点（2，?2）及邻近一点（2??x，?2??y）作1?x割线，则当?x?0.5时割线的斜率为（ ） A．
125 B． C．1 D．? 333【答案】B 【解析】
2??x???2?f2??x?f21?2??x?????lim????y12?lim?lim?lim?x?0.51??x?x?0.5?x?x?0.5?x?0.53?x?x．故B正确． 2．已知函数f(x)?A．?3x?1，则lim?x?0f(1??x)?f(1)的值为( )
?x112 B. C. D. 0 333【答案】A
1?2【解析】f(x)?x?1?f?x??x3
33'?limf(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)1??lim??f'?1???
?x?0?x?0?x??x3f(x0?3?x)?f(x0)?1,则f?(x0)＝ ( ) 3．设f(x)在x?x0处可导，且lim?x?0?x1A．1 B．0 C．3 D．
3【答案】D 【解析】
f(x0?3?x)?f(x0)f(x0?3?x)?f(x0)1?3lim?3f'?x0??1?f'?x0??
?x?0?x?0?x3?x3f(x0??x)?f(x0?2?x)?3，则f?(x0)?（ ） 4．设f(x)是可导函数，且lim?x?0?x1A． B．?1 C．0 D．?2
2lim【答案】B 【解析】 由题意
f(x0?Δx)?f(x0?2Δx)f(x0?Δx)?f(x0)?[f(x0?2Δx)?f(x0)]?lim
Δx?0Δx?0ΔxΔxf(x0?Δx)?f(x0)f(x0?2Δx)?f(x0)?lim?lim Δx?0Δx?0ΔxΔxlim试卷第1页，总12页
??limΔx?0f(x0?Δx)?f(x0)f(x0?2Δx)?f(x0)?2lim
Δx?0?Δx2Δx??f'(x0)?2f'(x0)??3f'(x0)?3，所以f'(x0)??1．故选B．
另解：
5．已知函数f(x)?2ln3x?8x，则limA．-20 B．-10 C．10 D．20
【答案】D 【解析】
因为f?x??2ln3x?8x，所以f??x???x?0f(1?2?x)?f(1)的值为（ ）
?x2?32?8??8， 3xx
故选D.
6．函数f(x)?exlnx在点(1,f(1))处的切线方程是（ ）
A．y?2e(x?1) B．y?ex?1 C．y?e(x?1) D．y?x?e 【答案】C
【解析】
1??f?1??0?f'?x??ex?lnx???f'?1??e，所以切线为y?e(x?1)
x??7．函数f(x)?2x?lnx在x?1处的切线方程是（ ）
A．y?4x?5 B．y?3x?1 C．y?3x?2 D．y?4x?2 【答案】B
【解析】
由题意，得f?(x)?4x?21．因为f(1)?2，f?(1)?4?1?1?3，所以切线方程为xy?2?3(x?1)，即y?3x?1，故选B．
328．若直线y?kx?2是函数f(x)?x?x?3x?1图像的一条切线，则k?（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【解析】
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32对函数求导可得y'?3x2?2x?3,令切点为x0,x0?x0?3x0?1,则切线方程为
??y??x03?x02?3x0?1???3x02?2x0?3??x?x0?,又切线过?0,2?,代入上式,可得
2x03?x02?3?0,解得x0??1,则k?y'|x??1?3x2?2x?3?2.故本题答案选C.
9．任一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s?3t?t，则物体的初速度是（ ）
A．3 B．0 C．﹣2 D．3﹣2t 【答案】A 【解析】
∵位移s与时间t的关系是s?s(t)?3t?t2，∴s'(t)?3?2t，∴s'(0)?3，故物体的初速度3，故选：A．
10．曲线y?x3?11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是（ ） A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．15 【答案】C 【解析】
∵y?x3?11，∴y'?3x2，则y'x?12?3x2x?1∴曲线y?x3?11在点P(1,12)处?3，
的切线方程为y?12?3(x?1)即3x?y?9?0，令x?0，解得y?9，∴曲线
y?x3?11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是9，故选C.
11．设点是曲线y?e?3x?x2上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的3取值范围是（ ） A．[?,?) B． [0,2?5??5?,?) D．[,) C． [0,)?[2626【答案】B
【解析】
23?)?(2?,?) 3由题意及导数的几何意义知：tan??y??ex?3??3，如图：
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由图可知：角?的取值范围是?0，????，??；
23故选B．
，?1)的切线方程是（ ）12 ．过曲线y?x3?2x上的点(1．
??????2???A．x?y?2?0 B． x?y?2?0 C． 5x?4y?1?0 D．x?y?2?0或5x?4y?1?0 【答案】D 【解析】
332设切点为x0,x0?2x0,则切线方程为y?x0?2x0?3x0?2???????x?x?,又切线过
02?1,?1?,代入上式,可得2x03?3x02?1??x0?1??2x0?1??0,解得x0?1或x0??2,
1则切点为?1,?1?或??二、填空题
?17?,?，所以切线非常为x?y?2?0或5x?4y?1?0,故选D. ?28?13．已知函数f(x)?x?4lnx，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 ． 【答案】3x?y?4?0 【解析】
'函数f(x)?x?4lnx，所以函数f(x)?1?4'，切线的斜率k?f(1)??3，切点为：x（1，1）
所以切线方程为：3x?y?4?0，故答案为：3x?y?4?0. 14．如果函数f(x)?【答案】?【解析】
1f(4??x)?f(4)，则lim的值等于________．
?x?0x?x1 16?f(x)?11f(4??x)?f(4)1?f'?x???2?lim?f'?4???.
?x?0xx?x16试卷第4页，总12页
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15．曲线f(x)?xlnx在点?e，e?处的切线与直线x+ay?1垂直，则实数a的值为________． 【答案】2 【解析】
根据导数的几何意义，f'(x)?lnx?1，所以切线的斜率k?f'(e)?2，切线与直线垂直，所以直线的斜率k??11??，解得：a?2. a216．设点P、Q分别是曲线y?xe?x(e是自然对数的底数）和直线y?x?3上的动点，则P、Q 两点间距离的最小值为 【答案】32 2【解析】
，即ex?1?x，ex?x?1?0，令y'?e?x?xe?x?(1?x)e?x，令(1?xe)?x?1x，显然h(x)是增函数，且h(0)?0，即方程ex?x?1?0只有一解h(x)?e?x?1?xx?0，曲线y?xe在x?0处的切线方程为y?x，两平行线x?y?0和
x?y?3?0间的距离为d?3?32.
2217．已知直线l过点(0,?1)，且与曲线y?xlnx相切，则直线l的方程为 ． 【答案】y?x?1 【解析】
将f(x)?xlnx求导得f?(x)?ln?x，1设切点为(x0,y0)，l的方程为
y?y0?(lnx0?1)(x?x0)，因为直线l过点(0,?1)，所以?1?y0?(lnx0?1)(0?x0)．又y0?x0lnx0，所以?1?x0lnx0??x0(lnx0?1),?x0?1,y0?0．所以切线方程为y?x?1．
18．若曲线C1:y?ax3?6x2?12x与曲线C2:y?ex在x?1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为 ． 【答案】?【解析】
因为C1:y??3ax2?12x，C2:y??ex，所以（3a?12）?e＝?1,a??21 3e1. 3e19．已知抛物线y?ax?bx?c过点?1,1?，且在点?2,?1?处与直线y?x?3相切，求
a,b,c的值．
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选修2-2第01讲变化率与导数(修)
