可编辑
旋转体：由连续曲线 y=f (x)、直线 x=a 、x=b 及 x 轴所围成的曲边梯
形绕 x轴旋转一周而成的立体。
y y?f(x)2V ??a[f(x)]??dx??[f(x)]dx。 ?ab2bO a xb x
旋转体：由连续曲线 x??(y) 、
直线 y=c 、y=d 及 y轴所围曲边梯 形绕 y轴旋转一周而成的立体
V???[?(y)]2dy
c
d
精品文档
可编辑
2.3 定积分的物理应用
变力沿直线做功；水(侧)压力；引力
思路: 建立坐标系，选取积分变量(如x)，在[x, x+dx]上给出微元
第六 空间解析几何
1. 向量a?axi?ayj?azk在坐标轴上的投影分别为：
ax,ay,az；在坐标轴上的分量分别为：axi,ayj,azk。
|a|?ax?ay?az?222a，ea?|a|?(cos?,cos?,cos?)
2. 利用坐标作向量的线性运算
a?(ax,ay,az), b?(bx,by,bz),
a?b? (ax?bx,ay?by,az?bz)，
?a? (?ax,?ay,?az)，
精品文档
可编辑
数量积(数):
?a?b?axbx?ayby?azbz?|a||b|cos(a,b)
向量积(向量)
ijka?b?axayaz
bxbybza?b?a，a?b?b，且 a?b，a,b构成右手系，
?|a?b|?|a||b|sin(a,b) (几何意义: 平行四边形的面积)
3．向量之间的关系
a?b?a?b?axbx?ayby?azbz?0
ijaxayaza//b???（?a?b?0?axaybxbybzbxby
4．平面图形及其方程
平面的法向量：和平面垂直的非零向量。
①点法式方程：
kaz?0） bz精品文档
可编辑
设平面过点M0(x0,y0,z0)法向量n?(A,B,C)(其中A,B,C不全为0), 则平面的方程为
A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0 ②一般方程：
Ax?By?Cz?D?0
[ 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0表示平行于 x 轴的平面; Ax+Cz+D = 0 表示平行于 y 轴的平面; Ax+By+D = 0 表示平行于 z 轴的平面 Cz + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; Ax + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； By + D =0 表示平行于 zox 面 的平面]
设平面∏1的法向量为n1?(A1,B1,C1)， 平面∏2的法向量为n2?(A2,B2,C2)，
则两平面夹角q 的余弦为：
cos??n1?n2n1n2。
平面外一点P?x0,y0,z0?到平面Ax?By?Cz?D?0的距离：
Ax0?By0?Cz0?Dd? 222A?B?C
5．空间直线及其方程
精品文档
可编辑
① 一般方程：直线可视为两平面交线，其一般式方程为：
?A1x?B1y?C1z?D1?0? Ax?By?Cz?D?02222?方向向量: s?n1?n2
②点向式方程
x?x0y?y0z?z0 ??
np方向向量: s?(m,n,p)
?x?x0?mt??y?y0?nt?z?z?pt0?m
③参数方程 (求交点)
④. 线与线的关系x?x1y?y1z?z1直线L1：??,s1?(m1,n1,p1)m1n1p1x?x2y?y2z?z2直线L2：??,s2?(m2,n2,p2)m2n2p2L1?L2s1?s2?0m1m2?n1n2?p1p2?0m1n1p1??m2n2p2L1//L2s1?s2?0s1?s2夹角公式:cos??s1s2 精品文档
高等数学-大一-上学期知识要点
