高考数学一轮复习第九章平面解析几何第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系高效演练分层突破文新人教A版

第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

[基础题组练]

1．圆O1：x＋y－2x＝0和圆O2：x＋y－4y＝0的位置关系是( ) A．相离 C．外切

B．相交 D．内切

2

2

2

2

解析：选B.圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2，所以两圆的圆心距d＝5，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1

2．(2020·陕西榆林二校联考)圆x＋y＋4x－2y＋a＝0截直线x＋y－3＝0所得弦长为2，则实数a等于( )

A．2 C．4

B．－2 D．－4

2

2

2

2

解析：选D.由题知，圆的标准方程为(x＋2)＋(y－1)＝5－a，所以圆心为(－2，1)，|－2＋1－3|22

半径为5－a，又圆心到直线的距离为＝22，所以2（5－a）－（22）

2＝2，解得a＝－4.

3．(2020·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线

x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )

A．x＋(y－1)＝4 C．x＋(y－1)＝8

2

2

2

2

B．x＋(y－1)＝2 D．x＋(y－1)＝16

2

2

22

解析：选B.直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1，2)，如图．所以圆与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，以点(0，1)为圆心的圆的半径最大，此时半径r为2，此时圆的标准方程为x＋(y－1)＝2.故选B.

2

2

4．已知圆O1的方程为x＋y＝4，圆O2的方程为(x－a)＋y＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( )

A．{1，－1} C．{1，－1，3，－3}

B．{3，－3} D．{5，－5，3，－3}

2

2

2

2

解析：选C.因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝1，

1

外切时，|a|＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1，3，－3}．

5．圆x＋2x＋y＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有( ) A．1个 C．3个

2

2

2

B．2个 D．4个

2

解析：选C.圆的方程化为(x＋1)＋(y＋2)＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝|－1－2＋1|

＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点． 2

6．圆x＋y－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为 ．

解析：圆的方程为(x－2)＋y＝4，圆心坐标为(2，0)，半径为2，点P在圆上，设切|2k－k＋3|

线方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0，所以＝2，

k2＋1

解得k＝

33

.所以切线方程为y－3＝(x－1)，即x－3y＋2＝0. 33

2

2

2

2

答案：x－3y＋2＝0

7．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x＋y－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝ ．

解析：由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x＋y－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，－1)．

所以|AC|＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|＝40－4＝36.所以|AB|＝6. 答案：6

8．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为 ．

解析：因为∠AOB＝90°，所以点O在圆C上．设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，所以点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|2×0＋0－4|42?2?2

|OD|＝＝，所以圆C的最小半径为，所以圆C面积的最小值为π??＝

?5?5554

π. 5

4答案：π

5

9．已知圆C：(x－1)＋(y＋2)＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)过切点A(4，－1)；

(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直．

2

2

2

22

22

2

2

－2＋11

解：(1)因为kAC＝＝，所以过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，所以过切点A(4，

1－43－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.

|2－2＋m|

(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，则＝10，所以m＝±52，所以切线方程

5为2x＋y±52＝0.

10．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上． (1)求圆C的方程；

(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，

|a－2a－1|22

则（a－2）＋（－2a＋1）＝，化简，

2得a－2a＋1＝0，解得a＝1.

所以C(1，－2)，半径|AC|＝（1－2）＋（－2＋1）＝2. 所以圆C的方程为(x－1)＋(y＋2)＝2.

(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得3－， 4

3

所以直线l的方程为y＝－x.

4

综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.

[综合题组练]

1．(2020·湖北四地七校联考)若圆O1：x＋y＝5与圆O2：(x＋m)＋y＝20相交于A，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

|k＋2|1＋k2

＝1，解得k＝

B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是( )

A．3 C．23

B．4 D．8

解析：选B.连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|＝|O1A|＋|O2A|，即m＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝＝4.

|y|

2．(2020·江西南昌NCS项目第一次模拟)已知r>0，x，y∈R，p：“|x|＋≤1”，

2

3

2

2

2

2

55，所以在Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2O1＝25×＝2，所以|AB|＝2|AC|55