第9章 偏微分方程的差分方法
含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。
9.1椭圆型方程边值问题的差分方法
9.1.1 差分方程的建立
最典型的椭圆型方程是Poisson（泊松）方程
?2u?2u ??u??(2?2)?f(x,y),(x,y)?G （9.1）
?x?yG是x,y平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f(x,y)≡0时，方程
（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件
第一边值条件 u???(x,y) （9.2） 第二边值条件
?u???(x,y) （9.3） ?n?u?ku)???(x,y) （9.4） ?n 第三边值条件 (这里，n表示Γ上单位外法向，α(x,y),β(x,y),γ(x,y)和k(x,y)都是已知的函数，k(x,y)≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u(x,y)称为椭圆型方程边值问题的解。
用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u(x,y)在区域G的一些离散节点（xi，yi）上的近似值ui,j≈(xi，yi）。差分方法的基本思想是，对求解区域G做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。
设G={0 x=ih1, i=0,1,…,N1, h1=a/N1 y=jh2, j=0,1,…,N2, h2=b/N2 将G剖分为网格区域，见图9-1。h1，h2分别称为x方向和y方向的剖分步长，网格交点（xi，yi）称为剖分节点（区域内节点集合记为Gh={（xi，yi）; （xi，yi）∈G}）,网格线与边界Γ的交点称为边界点，边界点集合记为Γh。 . 现在将微分方程（9.1）在每一个内节点（xi，yi）上进行离散。在节点（xi，yi）处，方程（9.1）为 ?2u?2u?[2(xi,yi)?2(xi,yi)]?f(xi,yi),(xi,yi)?Gh （9.5） ?x?y需进一步离散（9.5）中的二阶偏导数。为简化记号，简记节点（xi，yi）=(i,j)，节 点函数值u（xi，yi）=u(i,j)。利用一元函数的Taylor展开公式，推得二阶偏导数的差商表达式 ?2u1(i,j)??[u(i?1,j)?2u(i,j)?u(i?1,j)]?0(h12)22?xh1?u12(i,j)??[u(i,j?1)?2u(i,j)?u(i,j?1)]?0(h2)22?yh2代入（9.5）式中，得到方程（9.1）在节点(i,j)处的离散形式 2 11[u(i?1,j)?2u(i,j)?u(i?1,j)]?[u(i,j?1)?2u(i,j)?u(i,j?1)]22h2 h1 2?fi,j?0(h12?h2),(i,j)?Gh?2其中fi,j?f(xi,yi)。舍去高阶小项0(h12?h2)，就导出了u(i,j)的近似值ui,j所满 足的差分方程 ?11 [u?2u?u]?[ui,j?1?2ui,j?ui,j?1]?fi,j,(i,j)?Gh （9.6）i?1,ji,ji?1,j22h1h222在节点(i,j)处方程（9.6）逼近偏微分方程（9.1）的误差为O(h1?h2)，它关于剖分步长是二阶的。这个误差称为差分方程逼近偏微分方程的截断误差，它的大小将影响近似解的精度。 在差分方程（9.6）中，每一个节点(i,j)处的方程仅涉及五个节点未知量ui,j，ui+1,j，ui-1,j，ui,j+1，ui,j-1，因此通常称（9.6）式为五点差分格式，当h1= h2=h时，它简化为 . ?1[ui?1,j?ui?1,j?ui,j?1?ui,j?1?4ui,j]?fi,j,(i,j)?Gh 2h差分方程（9.6）中，方程个数等于内节点总数，但未知量除内节点值ui,j ,(i,j)∈Gh外，还包括边界点值。例如，点(1,j)处方程就含有边界点未知量u0,j。因此，还要利用给定的边值条件补充上边界点未知量的方程。 对于第一边值条件式（9.2），可直接取ui,j=α（xi，yi）， (i,j)∈Γh （9.7） 对于第三（k=0时为第二）边值条件式（9.4）， 以左边界点(1,j)为例，见图9-2, 利用一阶差商公式 ?uu(0,j)?u(1,j)(0,j)??O(h1) ?nh1则得到边界点(0,j)处的差分方程 u0,j?u1,jh1?k0,ju0,j?r0,j （9.8） 联立差分方程（9.6）与（9.7）或（9.8）就形成了求解Poisson方程边值问题的差分方程组，它实质上是一个关于未知量{ui,j}的线性代数方程组，可采用第2，3章介绍的方法进行求解。这个方程组的解就称为偏微分方程的差分近似解，简称差分解。 考虑更一般形式的二阶椭圆型方程 ?[??u??u?u?u(A)?(B)?C?D?Eu]?f(x,y),(x,y)?G （9.9） ?x?x?y?y?x?y其中A(x,y)≥Amin>0, B(x,y) ≥Bmin >0, E(x,y) ≥0。引进半节点xi?121?xi?h1, 2yi?121?yi?h2,利用一阶中心差商公式，在节点（i,j）处可有 2??u1?u1?u1(A)(i,j)?[(A)(i?,j)?(A)(i?,j)]?O(h12)?x?xh1?x2?x2?1u(i?1,j)?u(i,j)u(i,j)?u(i?1,j)[A1?A1]?O(h12)i?,jh1i?2,jh1h12?uu(i?1,j)?u(i?1,j)(i,j)??O(h12)?x2h1. 对 ??u?u类似处理，就可推得求解方程（9.9）的差分方程 (B),?y?y?y?[ai?1,jui?1,j?ai?1,jui?1,j?ai,j?1ui,j?1?ai,j?1ui,j?1?ai,jui,j]?f(i,j),(i,j)?Gh其中 （9.10） h1??2a?h(A?Ci,j)11?i?1,ji?,j22?h1?2?a?h(A?Ci,j)11?i?1,ji?,j22??h?2 （9.11） (B1?2Di,j)?ai,j?1?h2i,j?2?2?h2?2a?h(B?Di,j)?i,j?121i,j?22??2?2?ai,j?h1(A1?A1)?h2(B1?B1)?Ei,ji?,ji?,ji,j?i,j??2222?显然，当系数函数A(x,y)=B(x,y)=1, C(x,y)=D(x,y)=E(x,y)=0时，椭圆型方程（9.9） 就成为Poisson方程（9.1），而差分方程（9.10）就成为差分方程（9.6）。容易看 2出，差分方程（9.10）的截断误差为O(h12?h2)阶。 9.1.2 一般区域的边界条件处理 前面已假设G为矩形区域，现在考虑G为一般区域情形，这里主要涉及边界条件的处理。 考虑Poisson方程第一边值问题 ???u?f(x,y),(x,y)?G （9.12） ?u??(x,y),(x,y)???其中G可为平面上一般区域，例如为曲边区域。仍然用两组平行直线： x=x0+ih1,y=y0+jh2,i,j=0,±1,…,对区域G进行矩形网格剖分，见图9-3。 如果一个内节点（i,j）的四个相邻节点（i+1,j），（i-1,j），（i,j+1）和（i,j-1）属于G?G??，则称其为正则内点，见图9-3中打“。”号者；如果一个节点（i,j）属于G且不为正则内点，则称其为非正则内点，见图9-3中打“.”号者。记正则 ?，非正则内点集合为?h?。显然，当G为矩形区域时，内点集合为Gh. ??Gh,?h???h成立。 Gh 在正则内点（i,j）处，完全同矩形区域情形，可建立五点差分格式 ?11? （9.13）[u?2u?u]?[ui,j?1?2ui,j?ui,j?1]?fi,j,(i,j)?Gh i?1,ji,ji?1,j22h1h2在方程（9.13）中，当（i,j）点临近边界时，将出现非正则内点上的未知量，因此必须补充非正则内点处的方程。 若非正则内点恰好是边界点，如图9-4中 D点，则利用边界条件可取uD=α(D) 对于不是边界点的非正则内点，如图9-4中B点，一般可采用如下两种处理方法。 a.直接转移法.取与点B距离最近的边界点（如图9-4中E点）上的u的值作为u(B)的近似值uB，即uB=u(E)=α(E) 直接转移法的优点是简单易行，但精度较低，只为一阶近似。 b.线性插值法.取B点的两个相邻点（如图9-4中边界点A和正则内点C作为插值节点对u(B)进行线性插值 u(B)?xC?xBx?xAu(A)?Bu(C)?O(h12) xC?xAxC?xA则得到点B处的方程 uB?h1??(A)?uC,??xB?xA h1??h1??线性插值法精度较高，为二阶近似。 对每一个非正则内点进行上述处理，将所得到的方程与（9.13）式联立，就组成了方程个数与未知量个数相一致的线性代数方程组。求解此方程组就可得到一般 .
修订版第九章 偏微分方程差分方法汇总(修订版)
