第15讲 导数的应用——导数与函数的单调性
思维导图
知识梳理 函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
题型归纳 题型1 证明（判断）函数的单调性 【例1-1】（2019春?合肥期中）已知函数f(x)?【分析】f(x)?12x?(2a?2)x?4alnx，讨论函数f(x)的单调性． 2124a(x?2a)(x?2)．对a与0，?1x?(2a?2)x?4alnx，x?(0,??)．f?(x)?x?(2a?2)??2xx的大小关系分类讨论，即可得出单调性． 【解答】解：f(x)?f?(x)?x?(2a?2)?12x?(2a?2)x?4alnx，x?(0,??)． 24a(x?2a)(x?2)． ?xx对a分类讨论：
a0时，函数f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,??)上单调递增．
(x?2)20，?函数f(x)在(0,??)上单调递增． ?2a?2，即a??1时，f?(x)?x?2a?2，即a??1时，函数f(x)在(0,2)，(?2a,??)上单调递增，在(2,?2a)上单调递减． 0??2a?2，即?1?a?0时，函数f(x)在(0,?2a)，(2,??)上单调递增，在(?2a,2)上单调递减．
【跟踪训练1-1】（2020春?吉林期末）函数y?x?sinx在区间(0,?)上( ) A．单调递减 B．单调递增
C．(0,)上单调递增，(,?)上单调递减
22D．(0,)上单调递减，(,?)上单调递增 22【分析】对函数y?x?sinx求导数，然后研究导数y?在(0,?)上的符号即可． 【解答】解：因为y??1?cosx?0，(0?x??)恒成立， 故y?x?sinx在(0,?)上是单调增函数． 故选：B．
【跟踪训练1-2】（2019秋?南充期末）试证明函数f(x)?x2?1在(??,0)上是减函数． 【分析】在(??,0)上任取x1?x2，通过比较f(x1)与f(x1)的大小判断函数单调性． 【解答】证明：在(??,0)上任取x1?x2，
2?1)?(x1?x2)(x1?x2)； 则：f(x1)?f(x2)?(x12?1)?(x2????而x1?x2?0，x1?x2?0，
所以f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)； 由x1?x2，f(x1)?f(x2)，
f(x)?x2?1在(??,0)上是减函数得证． 【名师指导】
讨论函数f(x)单调性的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；
(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．
题型2 求函数的单调区间
【例2-1】（2020春?克什克腾旗校级月考）函数y?12x?x3的单调递增区间为( ) A．(0,??)
B．(??,?2)
C．(?2,2)
D．(2,??)
【分析】先求出函数的导数，然后利用f?(x)?0，解函数的单调增区间． 【解答】解：函数的导数为f?(x)?12?3x2， 由f?(x)?12?3x2?0，得x2?4， 解得?2?x?2，
即函数的单调递增区间为(?2,2)． 故选：C．
【例2-2】（2020春?和平区校级月考）求函数f(x)?ex(ex?a)?a2x(a?R)的单调区间．
a【分析】f?(x)?ex(ex?a)?exex?a2?2(ex?)(ex?a)．下面对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即
2可得出．
a【解答】解：f?(x)?ex(ex?a)?exex?a2?2(ex?)(ex?a)．
2下面对a分类讨论：a?0时，f(x)?e2x在R上单调递增．
a?0时，令f?(x)?0，解得x?lna．可得：函数f(x)在(??,lna)上单调递减，在(lna,??)上单调递增．
aaaa?0时，令f?(x)?0，解得x?ln(?)．可得：函数f(x)在(??，ln(?))上单调递减，在(ln(?)，??)上
222单调递增．
综上可得：a?0时，f(x)在R上单调递增．
a?0时，函数f(x)在(??,lna)上单调递减，在(lna,??)上单调递增．
aaa?0时，函数f(x)在(??，ln(?))上单调递减，在(ln(?)，??)上单调递增．
22【跟踪训练2-1】（2020春?工农区校级期末）函数f(x)?(x?2)ex的单调递增区间为( ) A．(1,??)
B．(2,??)
C．(0,2)
D．(1,2)
【分析】先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出． 【解答】解：函数f(x)?(x?2)ex， 则f?(x)?(x?1)ex，
第15讲 导数的应用——导数与函数的单调性(解析版)
