课时作业6 平面向量基本定理
时间:45分钟 ——基础巩固类——
一、选择题
1.(多选)在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,则下列说法正确的是( ABC )
→→→A.AC=AB+AD →1→1→C.AO=AB+AD
22
→→→
B.BD=AD-AB →5→→D.AE=AB+AD
3
→→→
解析:由向量减法的三角形法则知,BD=AD-AB,B正确;由向量加法的平行四边形法→→→→1→1→1→
则知,AC=AB+AD,AO=AC=AB+AD,A、C正确,只有D错误.
222
→→→
2.在△ABC中,已知D为AC上一点,若AD=2DC,则BD=( D ) 1→2→A.-BC-BA
332→1→C.-BC-BA
33
1→2→
B.BC+BA 332→1→D.BC+BA 33
→→→→2→→2→→2→1→
解析:如图,BD=BA+AD=BA+AC=BA+(BC-BA)=BC+BA,故选D.
3333
→→→2→→
3.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若2AD=DB,CD=CA+λCB,则λ等于( A )
31122A. B.- C. D.- 3333
→→→→1→→1→→解析:方法一:由平面向量的三角形法则可知CD=CA+AD=CA+AB=CA+(CB-CA)
332→1→1
=CA+CB,所以λ=. 333
21→2→→
方法二:因为A,B,D三点共线,CD=CA+λCB,所以+λ=1,所以λ=.
333→→→→→
4.若OP1=a,OP2=b,P1P=λPP2,则OP=( D ) A.a+λb
B.λa+b
C.λa+(1+λ)b →→
解析:∵P1P=λPP2, →→→→∴OP-OP1=λ(OP2-OP),
→→→→λb+a(1+λ)OP=λOP2+OP1,∴OP=.
1+λD.
a+λb 1+λ→→→→→→→
5.已知非零向量OA,OB不共线,且2OP=xOA+yOB,若PA=λAB(λ∈R),则x,y满足的关系是( A )
A.x+y-2=0 C.x+2y-2=0
B.2x+y-1=0 D.2x+y-2=0
→→→→→→→→→→→
解析:由PA=λAB,得OA-OP=λ(OB-OA),即OP=(1+λ)·OA-λOB.又2OP=xOA+
??x=2+2λ,→
yOB,∴?
?y=-2λ,?
消去λ得x+y=2.
→
6.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点),则AP=( A ) →→
A.λ(AB+AD),λ∈(0,1) 2→→
B.λ(AB+BC),λ∈(0,)
2→→
C.λ(AB-AD),λ∈(0,1) 2→→
D.λ(AB-BC),λ∈(0,)
2
→→→→→→→→
解析:如图所示,AC=AB+AD,又点P在AC上,∴AP与AC同向,且|AP|<|AC|,故AP=
λ(AB+AD),λ∈(0,1).
→→
二、填空题
→→
7.如图,平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b,M是DC的中点,以{a,b}为基底表示→1向量AM=a+1b.
2
1→→→→1→→1→
解析:AM=AD+DM=AD+DC=AD+AB=b+a.
222
1→4→→
8.已知A,B,D三点共线,且对任一点C,有CD=CA+λCB,则λ=-.
33解析:因为A,B,D三点共线, →→
所以存在实数t,使AD=tAB, →→→→
则CD-CA=t(CB-CA).
→→→→→→所以CD=CA+t(CB-CA)=(1-t)CA+tCB. 4??1-t=,3所以?
??t=λ,
1
解得λ=-.
3
→→
9.在△ABC中,AB=a,BC=b,AD为边BC的中线,G为△ABC的重心,则用a,b表示→21向量AG=a+b.
33
→2→21→→1→1→→2→1→21
解析:依题意得,AG=AD=×(AB+AC)=AB+(BC+AB)=AB+BC=a+b.
332333333三、解答题
DC→→→
10.在梯形ABCD中,AB∥CD,M、N分别是DA、BC的中点,且=k(k≠1).设AD=e1,
AB→
AB=e2,选择基底{e1,e2},试写出向量DC、BC、MN在此基底下的分解式.
解:如图所示,
→→→
DC→
∵AB=e2,且=k,
AB→→
∴DC=kAB=ke2, →→→→
又AB+BC+CD+DA=0, →→→→∴BC=-AB-CD-DA →→→=-AB+DC+AD
=-e2+ke2+e1=e1+(k-1)e2. →→→→
而MN+NB+BA+AM=0,
→→→→→→→∴MN=-NB-BA-AM=BN+AB-AM 1→1→=BC+e2-AD 22
11k+1=[e1+(k-1)e2]+e2-e1=e2. 222
→3→1→
11.如图,已知M为△ABC的边BC上一点,且满足AM=AB+AC,求△ABM与△ABC的
44面积之比.
→3→1→
解:∵AM=AB+AC,
441→→→3→→
∴AM=(MB-MA)+(MC-MA),
443→1→→→∴MB+MC=0,∴MC=3BM, 44
S△ABM|BM|1∴==. S△ABC→4
|BC|
——能力提升类——
→→→
12.(多选)在任意平面四边形ABCD中,点E,F分别在线段AD,BC上,EF=λAB+μDC(λ,μ∈R),给出下列四组等式,其中,符合条件的是( BD )
→1→→3→A.AE=AD,BF=BC
44→1→→1→
B.AE=AD,BF=BC
22→1→→2→
C.AE=AD,BF=BC
33→2→→2→
D.AE=AD,BF=BC
33
→→→→
解析:由题意,设AE=xAD,BF=yBC,
→→→→→→→→→→→→→→则EF=EA+AB+BF=AB+yBC-xAD=AB+y(BA+AD+DC)-xAD=(1-y)AB+(y-x)AD→+yDC,
→→→
又EF=λAB+μDC(λ,μ∈R),
则y-x=0,即x=y,满足题意的有B、D.
→→→→
13.已知平行四边形ABCD中,E为CD的中点,AP=yAD,AQ=xAB,其中x,y∈R,且
→
x1→→
均不为0.若PQ∥BE,则=. y2→→→→→→→→→→→→→
解析:∵PQ=AQ-AP=xAB-yAD,由PQ∥BE,可设PQ=λBE,即xAB-yAD=λ(CE-CB)1??x=-λ,1→→λ→→2=λ(-AB+AD)=-AB+λAD,∴?
22
??y=-λ,
x1
则=. y2
14.设e1、e2是不共线的两个向量,给出下列四组向量:①e1与e1+e2;②e1-2e2与e2-2e1;③e1-2e2与4e2-2e1;④e1+e2与e1-e2,其中不能作为平面内所有向量的基底的是③.(写出所有满足条件的序号)
??λ=1,
解析:①设e1+e2=λe1,则?
??1=0,
无解,
∴e1+e2与e1不共线,即e1与e1+e2可作为一组基底;
??1+2λ=0,
②设e1-2e2=λ(e2-2e1),则(1+2λ)e1-(2+λ)e2=0,则?
?2+λ=0,?
无解,
∴e1-2e2与e2-2e1不共线,即e1-2e2与e2-2e1可作为一组基底;
1
③∵e1-2e2=-(4e2-2e1),∴e1-2e2与4e2-2e1共线,即e1-2e2与4e2-2e1不可作
2为一组基底;
④设e1+e2=λ(e1-e2),则(1-λ)e1+(1+λ)e2=0,
??1-λ=0,∴???1+λ=0,
无解,
∴e1+e2与e1-e2不共线,即e1+e2与e1-e2可作为一组基底.
15.如右图所示,D,E,F分别是△ABC的边BC,CA,AB上的点,AD与EF相交于点G,已知CD=2DB,AF=4FB,AG=mAD,AE=tAC.
→→→(1)试用AB,AC表示AD; 1
(2)若m=,求t的值.
2
→1→1→→1→1→→→→→?1→1→?2→
解:(1)因为BD=BC=(AC-AB)=AC-AB,所以AD=AB+BD=AB+?AC-AB?=AB3?33333?31→
+AC. 3
→4→→→
(2)依题意知,AF=AB,AE=tAC,
5
2021学年新教材高中数学6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理课时作业含解析人教A版必修二
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