课时作业6 平面向量基本定理
时间：45分钟 ——基础巩固类——
一、选择题
1．(多选)在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是( ABC )
→→→A．AC＝AB＋AD →1→1→C．AO＝AB＋AD
22
→→→
B．BD＝AD－AB →5→→D．AE＝AB＋AD
3
→→→
解析：由向量减法的三角形法则知，BD＝AD－AB，B正确；由向量加法的平行四边形法→→→→1→1→1→
则知，AC＝AB＋AD，AO＝AC＝AB＋AD，A、C正确，只有D错误．
222
→→→
2．在△ABC中，已知D为AC上一点，若AD＝2DC，则BD＝( D ) 1→2→A．－BC－BA
332→1→C．－BC－BA
33
1→2→
B．BC＋BA 332→1→D．BC＋BA 33
→→→→2→→2→→2→1→
解析：如图，BD＝BA＋AD＝BA＋AC＝BA＋(BC－BA)＝BC＋BA，故选D．
3333
→→→2→→
3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若2AD＝DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于( A )
31122A． B．－ C． D．－ 3333
→→→→1→→1→→解析：方法一：由平面向量的三角形法则可知CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)
332→1→1
＝CA＋CB，所以λ＝. 333
21→2→→
方法二：因为A，B，D三点共线，CD＝CA＋λCB，所以＋λ＝1，所以λ＝.
333→→→→→
4．若OP1＝a，OP2＝b，P1P＝λPP2，则OP＝( D ) A．a＋λb
B．λa＋b
C．λa＋(1＋λ)b →→
解析：∵P1P＝λPP2， →→→→∴OP－OP1＝λ(OP2－OP)，
→→→→λb＋a(1＋λ)OP＝λOP2＋OP1，∴OP＝.
1＋λD．
a＋λb 1＋λ→→→→→→→
5．已知非零向量OA，OB不共线，且2OP＝xOA＋yOB，若PA＝λAB(λ∈R)，则x，y满足的关系是( A )
A．x＋y－2＝0 C．x＋2y－2＝0
B．2x＋y－1＝0 D．2x＋y－2＝0
→→→→→→→→→→→
解析：由PA＝λAB，得OA－OP＝λ(OB－OA)，即OP＝(1＋λ)·OA－λOB.又2OP＝xOA＋
??x＝2＋2λ，→
yOB，∴?
?y＝－2λ，?
消去λ得x＋y＝2.
→
6．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点)，则AP＝( A ) →→
A．λ(AB＋AD)，λ∈(0,1) 2→→
B．λ(AB＋BC)，λ∈(0，)
2→→
C．λ(AB－AD)，λ∈(0,1) 2→→
D．λ(AB－BC)，λ∈(0，)
2
→→→→→→→→
解析：如图所示，AC＝AB＋AD，又点P在AC上，∴AP与AC同向，且|AP|<|AC|，故AP＝
λ(AB＋AD)，λ∈(0,1)．
→→
二、填空题
→→
7．如图，平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，M是DC的中点，以{a，b}为基底表示→1向量AM＝a＋1b.
2
1→→→→1→→1→
解析：AM＝AD＋DM＝AD＋DC＝AD＋AB＝b＋a.
222
1→4→→
8．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有CD＝CA＋λCB，则λ＝－.
33解析：因为A，B，D三点共线， →→
所以存在实数t，使AD＝tAB， →→→→
则CD－CA＝t(CB－CA)．
→→→→→→所以CD＝CA＋t(CB－CA)＝(1－t)CA＋tCB. 4??1－t＝，3所以?
??t＝λ，
1
解得λ＝－.
3
→→
9．在△ABC中，AB＝a，BC＝b，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，则用a，b表示→21向量AG＝a＋b.
33
→2→21→→1→1→→2→1→21
解析：依题意得，AG＝AD＝×(AB＋AC)＝AB＋(BC＋AB)＝AB＋BC＝a＋b.
332333333三、解答题
DC→→→
10．在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别是DA、BC的中点，且＝k(k≠1)．设AD＝e1，
AB→
AB＝e2，选择基底{e1，e2}，试写出向量DC、BC、MN在此基底下的分解式．
解：如图所示，
→→→
DC→
∵AB＝e2，且＝k，
AB→→
∴DC＝kAB＝ke2， →→→→
又AB＋BC＋CD＋DA＝0， →→→→∴BC＝－AB－CD－DA →→→＝－AB＋DC＋AD
＝－e2＋ke2＋e1＝e1＋(k－1)e2. →→→→
而MN＋NB＋BA＋AM＝0，
→→→→→→→∴MN＝－NB－BA－AM＝BN＋AB－AM 1→1→＝BC＋e2－AD 22
11k＋1＝[e1＋(k－1)e2]＋e2－e1＝e2. 222
→3→1→
11．如图，已知M为△ABC的边BC上一点，且满足AM＝AB＋AC，求△ABM与△ABC的
44面积之比．
→3→1→
解：∵AM＝AB＋AC，
441→→→3→→
∴AM＝(MB－MA)＋(MC－MA)，
443→1→→→∴MB＋MC＝0，∴MC＝3BM， 44
S△ABM|BM|1∴＝＝. S△ABC→4
|BC|
——能力提升类——
→→→
12．(多选)在任意平面四边形ABCD中，点E，F分别在线段AD，BC上，EF＝λAB＋μDC(λ，μ∈R)，给出下列四组等式，其中，符合条件的是( BD )
→1→→3→A．AE＝AD，BF＝BC
44→1→→1→
B．AE＝AD，BF＝BC
22→1→→2→
C．AE＝AD，BF＝BC
33→2→→2→
D．AE＝AD，BF＝BC
33
→→→→
解析：由题意，设AE＝xAD，BF＝yBC，
→→→→→→→→→→→→→→则EF＝EA＋AB＋BF＝AB＋yBC－xAD＝AB＋y(BA＋AD＋DC)－xAD＝(1－y)AB＋(y－x)AD→＋yDC，
→→→
又EF＝λAB＋μDC(λ，μ∈R)，
则y－x＝0，即x＝y，满足题意的有B、D．
→→→→
13．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，AP＝yAD，AQ＝xAB，其中x，y∈R，且
→
x1→→
均不为0.若PQ∥BE，则＝. y2→→→→→→→→→→→→→
解析：∵PQ＝AQ－AP＝xAB－yAD，由PQ∥BE，可设PQ＝λBE，即xAB－yAD＝λ(CE－CB)1??x＝－λ，1→→λ→→2＝λ(－AB＋AD)＝－AB＋λAD，∴?
22
??y＝－λ，
x1
则＝. y2
14．设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2，其中不能作为平面内所有向量的基底的是③.(写出所有满足条件的序号)
??λ＝1，
解析：①设e1＋e2＝λe1，则?
??1＝0，
无解，
∴e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2可作为一组基底；
??1＋2λ＝0，
②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则?
?2＋λ＝0，?
无解，
∴e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1可作为一组基底；
1
③∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不可作
2为一组基底；
④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，
??1－λ＝0，∴???1＋λ＝0，
无解，
∴e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2可作为一组基底．
15．如右图所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，AD与EF相交于点G，已知CD＝2DB，AF＝4FB，AG＝mAD，AE＝tAC．
→→→(1)试用AB，AC表示AD； 1
(2)若m＝，求t的值．
2
→1→1→→1→1→→→→→?1→1→?2→
解：(1)因为BD＝BC＝(AC－AB)＝AC－AB，所以AD＝AB＋BD＝AB＋?AC－AB?＝AB3?33333?31→
＋AC. 3
→4→→→
(2)依题意知，AF＝AB，AE＝tAC，
5
2021学年新教材高中数学6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理课时作业含解析人教A版必修二
