2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（3）
文科数学
本试题卷共5页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U?R，集合A??xx?1?1?，B????x2x?5x?1?1??，则?AIeUB?（ ） A．?x1?x?2? B．?x1?x?2? C．?x1?x?2? D．?x1?x?4?
【答案】C
【解析】由题意得A??xx?1?1???x?1?x?1?1???x0?x?2?，
B????x2x?5x?1?1???????xx?4x?1?0?????xx?1或x?4?，
∴eUB??x1?x?4?，∴AI?eUB???x1?x?2?．选C．
2．欧拉公式eix?cosx?isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指
数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x??时，ei??1?0被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，e4i表示的复数在复平面中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由已知有e4i?cos4?isin4，因为π?4?3π2，所以4在第三象限，所以cos4?0，sin4?0，故e4i表示的复数在复平面中位于第三象限，选C．
3．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空
出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为15，则途中直角三角形中较大锐角的正弦值为（ ）
A．55 B．255 C．
15D．3
3 【答案】B
【解析】设小正方形的边长为1，直角三角形的直角边分别为x，1?x，x2??1?x?2，由几何概型可得
1x2??1?x?2?15，解得x?1，x??2（舍），所以直角三角形边长分别为1，2，5，直角三角形中较大锐角的正弦值为25?255，选B．
4．下列命题中：
①“x?1”是“x2?1”的充分不必要条件
②定义在?a,b?上的偶函数f?x??x2??a?5?x?b最小值为5；
③命题“?x?0，都有x?1x?2”的否定是“?x?0，使得x100?x?2” 0④已知函数f?x?的定义域为?0,2?，则函数g?x??f?2x??8?2x的定义域为?0,1?． 正确命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①x2?1?x?1或x??1，所以“x?1”是“x2?1”的充分不必要条件； ②因为f?x?为偶函数，所以a??5，因为定义区间为?a,b?，所以b?5，因此
f?x??x2?5最小值为5；
③命题“?x?0，都有x?1x?2”的否定是“?x10?0，使得x0?x?2”； 0④由条件得??2x??0,2???x??0,1??8?2x?0 ，????x????,3?，?x??0,1?； 因此正确命题的个数为①②④，选C．
5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三
寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x，y分别为（ ）
A．90，86 B．94，82
C．98，78
D．102，74
【答案】C
【解析】执行程序：x?86，y?90，s?27；x?90，y?86，s?27；x?94，y?82，
s?27；x?98，y?78，s?27，故输出的x，y分别为98，78．故选：C．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
2A．16+24π3 B．16+16π3
2222正视图侧视图C．8+8π3 D．16+8π3
【答案】D
【解析】由三视图可知：该几何体由两部分构成，一部分侧放的
俯视图四棱锥，一部分为四分之一球体，∴该几何体的体积是
11416+8π3?2?4?2+4?3?π?23=3，故选：D． ??x?2?07．已知实数x，y满足：??x?y?6，则z?x?2y?2x?y?6?1的最大值（ ）
??y?0 A．8 B．7
C．6
D．5
【答案】D
【解析】根据不等式组画出可行域是封闭的四边形区域，对目标函数进行分类， 当x?2y?1?0时，令z?x?2y?1，y?11?z2x?2，这时可行域为直线x?2y?1下方的部分，当目标函数过点?3，0?时有最大值4． 当x?2y?1?0时，令z??x?2y?1，y?11?z2x?2，这时可行域为直线x?2y?1上方的部分，这时当目标函数过点?2，4?时有最大值，代入得到最大值为5．故答案为：D． 8．设??0，函数y?2cos???x???7???1的图象向右平移4π?3个单位后与原图象重合，则?的最小值是（ ）
A．
32 B．
243C．3D．3
4【答案】A
【解析】将y?2cos???x?π?4π?7???1的图象向右平移3个单位后对应的函数为y?2cos???4π?π?π4?π????x?3??+7???1?2cos????x?7??3???1，∵函数y?2cos????x?π?7???1的图象
向右平移
4π4??3k3个单位后与原图象重合，所以有3?2kπ?k?Z?，
即??2，又Q??0，?k?1，故??3k2?32，故选A．
9．已知函数f?x?与其导函数f??x?的图象如图，则满足f??x??f?x?的x的取值范围为
（ ）
y143O24x
A．?0,4? B．???,0?U?1,4? C．??0,4??3?? D．?0,1?U?4,???
【答案】D
【解析】根据导函数与原函数的关系可知，当f??x??0时，函数f?x?单调递增， 当f??x??0时，函数f?x?单调递减，由图象可知：
当0?x?1时，函数y?f??x?的图象在y?f?x?图象的下方，满足f??x??f?x?；
当x?4时，函数y?f??x?的图象在y?f?x?图象的下方，满足f??x??f?x?； 所以满足f??x??f?x?的解集为{x0?x?1或x?4}，故选D．
10．若正项递增等比数列?an?满足1??a2?a4????a3?a5??0???R?，则a6??a7的最
小值为（ ）
A．?2 B．?4
C．2 D．4
【答案】D
【解析】因为1??a2?a4????a3?a5??0，所以1+?q?1a(q?1)，
4?a2?a6??a74?a?q2?1?1?4216?1??q??a6aa?q2???q2?1??2?14?2q?1q2?1q2?1?2?2?q?1?q2?1?4当且仅当q?2时取等号，即a6??a7的最小值为4，选D．
11．设正三棱锥P?ABC的高为H，且此棱锥的内切球的半径R?1H27H，则PA2?（ ）
A．
2939 B．
3239 C．
3439 D．
3539 【答案】D
【解析】取线段AB中点D，设P在底面ABC的射影为O，连接CD，PD，设AB?a，
则OD?313132a?3?6a，设PD?ma，则正三棱锥P?ABC的表面积3?22a?ma?4a，
由体积得，V?13?34a2H，?R?3VS?17H，?m?3，H?PD2?OD2?3512a，QPA?132a，?H235PA2?39，选D． 12．已知f?x??x2?ex，若函数g?x??f2?x??kf?x??1恰有三个零点，则下列结论正
确的是（ ）
B．k?842A．k??2 e2 C．k?2
D．k?e2+e4 【答案】D
【解析】f??x??ex?x2?2x?，可知函数f?x?在区间???,?2?单调递增，在??2,0?单调
递减，在?0,???单调递增，如下图，f??2??4e2，f?0??0，f?x??0，令t?f?x?，则t2?kt?1?0，因为g?x?要有三个零点，∴t2?kt?1?0有解，设为t1，t2，由t1t2?1?0，根
据图象可得：当t4e21?t2时，t1?e2，t2?4?44e2e2，符合题意，此时k?t1?t2?e2+4，当t?t?44e2?0,4?12??e2??时，可求得t1?t2?1?e2，不符合题意．综上所述，k?e2+4，故选D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．向量a，b满足a?1，a?b?32，a与b的夹角为60?，则b?________． 【答案】
12 【解析】由a?b?32可得?a?b?2?34，即a2?2a?b?b2?34，代入a?1可得1?2?1?b?12?b2?34，整理可得?2b?1?2?0，解得b?112，故答案为2．
14．抛物线y2?8x的焦点为F，点A?6,3?，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，
则△PAF周长的最小值为____________．
【答案】13
【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF等于这点到准线的距离d，即
FP?d．所以周长l?PA?PF?AF?PA?d?AF?PA?d?5?13，填13．
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
?a?b?c??a?b?c??3ab，且c?4，则△ABC面积的最大值为________．
【答案】43 【解析】由已知有a2?b2?c2?ab，cosC?a2?b2?c2ab12ab?2ab?2，
由于C??0,π?，sinC?32，又16?a2?b2?ab?2ab?ab?ab，则ab?16，S1△2absinC?12?16?3ABC?2?43，当且仅当a?b?4时等号成立． 故△ABC面积的最大值为43．
16．过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，
其长等于2b2a(a、b分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长)．已知双曲线C:x22a2?y?1（a?0）
的左、右焦点分别为F1、F2，若点M是双曲线C上位于第四象限的任意一点，直线l是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，MQ?l于点Q，且MQ?MF1的最小值为3，则双曲线C的通径为__________．
【答案】2
【解析】如图所示：连接MF2，由双曲线的定义知
MF1?MF2?2a，?MQ?MF1?MF2?MQ?2a?F2Q?2a，
当且仅当Q，M，F2三点共线时取得最小值3，此时，由F2?c,0?到直
线
l:y??bax??1ax的距离
F2Q?c2，
1?a?c21?a2?2a?3?cc?2a?3?a?1，由定义知通径等于2ba?2，故答案为2． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分，每个试题12分．
17．设Sn是数列?an?的前n项和，已知a1?1，Sn?2?2an?1． （1）求数列?an?的通项公式；
（2）设bnn???1?log1an，求数列?bn?的前n项和Tn．
2?1?n【答案】（1）a1??2,n为奇数n?2n?1；（2）Tn??n ．
???2,n为偶数【解析】（1）∵Sn?2?2an?1，a1?1， ∴当n?1时，S1?2?2a2，得a2?1?S1a12?1?12?2；·
···1分 当n?2时，S1n?1?2?2an，∴当n?2时，an?2an?2an?1，即an?1?2an，·
···3分 又a2?12a1，·
···4分 ∴?a1n?是以a1?1为首项，2为公比的等比数列．····5分 ∴数列?a的通项公式为a1n?n?2n?1．····6分
（2）由（1）知，bn???1?n?n?1?，·
···7分 Tnn??0?1?2?3?????1??n?1?，····8分 当n为偶数时，Tn?n2；····10分 当n为奇数时，Tn?11?nn?2??n?1??2， ?1?n,n∴T??2为奇数n?? ．·
···12分 ?n??2,n为偶数18． 2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表
如下：
年龄段 ?22,35? ?35,45? ?45,55? ?55,59? 人数（单位：人） 180 180 160 80 约定：此单位45岁~59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆
祝晚会的观众．
（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？
（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人
热衷关心民生大事．完成下列2?2列联表，并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？
热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 12 中年 5 总计 30
（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽
取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？
P?K2?k0? 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 K2?n?ad?bc?2?a?b??c?d??a?c??b?d?．
【答案】（1）18，12；（2）列联表见解析，没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生
大事有关；（3）
25． 【解析】（1）抽出的青年观众为18人，中年观众12人····2分 （2）2?2列联表如下：
热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 6 12 18 中年 7 5 12 总计 13 17 30 ····4分
2K2?30?6?5?12?7?40513?17?18?12?221?1.833?2.706，····6分 ∴没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关．····7分
（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为A1，A2，A3，A4，
其余两人记为B1，B2，则从中选两人，一共有如下15种情况：
?A1,A2?，?A1,A3?，?A1,A4?，?A2,A3?，?A2,A4?，?A3,A4?，?A1,B1?，?A1,B2?，?A2,B1?，
?A2,B2?，?A3,B1?，?A3,B2?，?A4,B1?，?A4,B2?，?B1,B2?，·
···10分 抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况，····11分
所以P?6215?5．·
···12分 19．如图，在四棱锥P?ABCD中，四边形ABCD是菱形，△PAD≌△BAD，
平面PAD?平面ABCD，AB?4，PA?PD，M在棱PD上运动．
（1）当M在何处时，PB∥平面MAC；
（2）已知O为AD的中点，AC与OB交于点E，当PB∥平面MAC时，求三棱锥
E?BCM的体积．
【答案】（1）当M为PD中点时，PB∥平面MAC；（2）83． 【解析】（1）如图，设AC与BD相交于点N， 当M为PD的中点时，PB∥平面MAC，····2分
证明∵四边形ABCD是菱形，可得：DN?NB，
又∵M为PD的中点，可得：DM?MP，∴NM为△BDP的中位线，····3分 可得NM∥PB，····4分
又∵NM?平面MAC，PB?平面MAC，∴PB∥平面MAC．····6分
（2）QO为AD的中点，PA?PD，则OP?AD，又△PAD≌△BAD，
?OB?AD，且OB?23，又Q△AEO∽△CEB，?OEOABE?BC?12． ?BE?2433OB?3．?S14383△EBC?2?4?3?3．····9分 又QOP?4?32?23，点M为PD的中点， ?M到平面EBC的距离为3．·
···11分 ?V1838E?BCM?VM?EBC?3?3?3?3．·
···12分 20．在平面直角坐标系xOy中，点F1??3,0?，圆F222:x?y?23x?13?0，点Q是
圆上一动点，线段FQ1的中垂线与线段F2Q交于点P． （1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）若直线l（斜率存在）与曲线E相交于A，B两点，且存在点D?4,0?（其中A，B，
D不共线）
，使得?ADB被x轴平分，证明：直线l过定点． （1）x2【答案】4?y2?1；
（2）?1,0?． 【解析】（1）由已知F1??3,0?，F2?3,0?，圆F2的半径为r?4，
依题意有：PF1?PQ，····1分 ?PF1?PF2?PQ?PF2?QF2?r?4····3分 故点P的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆，即c?3，a?2，?b?1．
故点P的轨迹E的方程为x24?y2?1．·
···5分 （2）令A?x1,y1?，B?x2,y2?，因A，B，D不共线，故l的斜率不为0，可令l的方程为：
x?my?n，则由??x?my?n2?x2?4y2?4，得?m2?4?y2?2mny?n?4?0 则yy?2mnn2?41?2?m2?4，y1?y2?m2?4①····7分
2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(3)（文科数学含答案详解）
