学业分层测评(二十) 向量平行的坐标表示
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝________. 【解析】 ∵a∥b，∴m＋4＝0， ∴m＝－4， ∴b＝(－2，－4)，
∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)， ＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)． 【答案】 (－4，－8)
2．已知a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线，且方向相同，则实数x＝________.
【解析】 设a＝λb，则(－1，x)＝(－λx,2λ)，所以有??－1＝－λx，
?x＝2，?x＝2λ，
解得??λ＝2
2，
?x＝－2，
??λ＝－22.
又a与b方向相同，则λ＞0，所以λ＝2
2，x＝2. 【答案】
2
3．若A(－1,2)，B(3,1)，C(－2，m)，三点共线，则m＝________. 【解析】 ∵A，B，C三点共线， AB→＝(4，－1)，BC→
＝(－5，m－1)， ∴4(m－1)＝－5×(－1)， ∴m＝94. 【答案】 9
4 4．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________. 【解析】 a－c＝(3－k，－6)，b＝(1,3)，
或
3－k－6
∵(a－c)∥b，∴1＝3，∴k＝5. 【答案】 5
5．(2016·南通高一检测)若a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan α＝________. 【解析】 ∵a∥b，∴2cos α＝sin α， ∴tan α＝2. 【答案】 2
6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.
【解析】 设B(x，y)，则由题意可知 1＋x??2＝3，?－2＋y??2＝1，
→
AB
?x＝5∴? ?y＝4，
→
∴AB＝(4,6)． →
又AB∥a，∴4λ＝6， 3∴λ＝2. 3
【答案】 2 a
7．已知向量m＝(2,3)，n＝(－1,2)，若am＋bn与m－2n共线，则b等于________. 【导学号：06460059】
【解析】 am＋bn＝(2a,3a)＋(－b,2b)＝(2a－b,3a＋2b)，m－2n＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)， ∵am＋bn与m－2n共线， a1∴b－2a－12a－8b＝0，∴b＝－2. 1
【答案】 －2 8．已知两点M(7,8)，N(1，－6)，P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为________．
【解析】 设P(x，y)，如图：
→→∴MN＝3MP，
∴(－6，－14)＝3(x－7，y－8)， ∴错误!解得错误! 10??
【答案】 ?5，3?
??二、解答题
9．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
→→
(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值． 【解】 (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． ∵ka－b与a＋2b共线， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0， 1
即2k－4＋5＝0，得k＝－2. (2)∵A，B，C三点共线， →→
∴AB＝λBC，λ∈R，
?2＝λ，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴?
?3＝mλ，3
解得m＝2. 10．如图2-3-19所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标．
图2-3-19
→→→→
【解】 设P(x，y)，则DP＝(x－1，y)，DB＝(5,4)，CA＝(－3,6)，DC＝(4,0)． →→
由B，P，D三点共线可得DP＝λDB＝(5λ，4λ)． →→→
又∵CP＝DP－DC＝(5λ－4,4λ)，
→→
由于CP与CA共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0， →4→?2016?4
解之得λ＝7，∴DP＝7DB＝?7，7?，
???2716?∴P的坐标为?7，7?.
??
[能力提升]
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，且(a＋λb)c，则λ等于________．
【解析】 a＋λb＝(1,2)＋(λ，0)＝(1＋λ，2)， 1
因为(a＋λb)∥c，所以4(1＋λ)－6＝0，故λ＝2. 1
【答案】 2 2．设a＝(6,3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足ab的实数x存在，则实数a的取值范围是________．
【解析】 a∥b，∴6(x2－2x)－2×3a＝0，即a＝x2－2x， ∴a＝(x－1)2－1≥－1. 【答案】 [－1，＋∞) 3．已知向量
→OA
＝(1,3)，
→OB
＝(2，－1)，
→OC∥∥
＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
【解析】 由A，B，C能构成三角形知，A，B，C三点不共线， →→
∴AB与AC不共线， →→
∴AB≠λAC(λ为实数)．
→→→→→→
∵AB＝OB－OA＝(1，－4)，AC＝OC－OA＝(m，m－5)， ∴(1，－4)≠λ(m，m－5)， 1
即λm≠错误!，∴m≠1. 【答案】 m≠1
→
4．如图2-3-20，在?OABP中，过点P的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N，若OM→→→
＝xOA，ON＝yOB(0＜x＜1)．
图2-3-20
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)令F(x)＝错误!＋x，判断F(x)的单调性，并给出你的证明． →→→→→→→→→
【解】 (1)OP＝AB＝OB－OA，则NM＝OM－ON＝xOA－yOB， →→→→→→MP＝OP－OM＝(OB－OA)－xOA →→
＝－(1＋x)OA＋OB.
→→
又NM∥MP，有x－y(1＋x)＝0， 即y＝f(x)＝
x
(0＜x＜1)． x＋1
(2)F(x)在(0,1)上单调递减，证明如下： 设0＜x1＜x2＜1，则
x1＋111
F(x1)＝x1＋x1＝x1＋x1＋1，F(x2)＝x2＋x2＋1， x1－x211
∴F(x2)－F(x1)＝x2－x1＋(x2－x1)＝x1x2＋x2－x1 ＝错误!.
又0＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x1x2－1＜0， ∴F(x2)－F(x1)＜0，即F(x2)＜F(x1)， ∴F(x)在(0,1)上为减函数.
2019-2020学年高中数学苏教版必修4学业分层测评 2.3.2.2 向量平行的坐标表示 Word版含解析
