经济与管理学院第六届团支书联席会期末复习宝典
武汉大学数学与统计学院
2005－2006学年第二学期《线性代数》 （A卷）
学院 专业 学号 姓名 注：1.本试题供线性代数D（即工科36学时）使用；
2.所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、计算题（每小题6分，5题共30分）：
1、设?1??3,21,0,9,0?， 一个极大无关组。
?2??1,7,?1,?2,?1?，?3??2,14,0,6,1?，求向量组?1,?2,?3的
?12?3?1???1?211?，求行列式 AA?的值。 2、设 A???01?12???3024????3、设?1??111?, ?2??1?21?，试求一个非零向量?，使?1, ?2, ?两两正交。
4、判定二次型
222f(x1,x2,x3)?x1?2x2?6x3?2x1x2?2x1x3?6x2x3的正定性。
?aaa???20065、已知A?bbb，求A。
???ccc???二、解答题（每小题15分， 2题共30分）： ?11?1???21、已知A?011，且A?AB?E，其中E是3阶单位矩阵，
???00?1???(1) 求矩阵B；
（2）令C?4A2?B2?2BA?2AB，计算C的伴随阵C。 2、已知
*f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3，
（1）求一个正交变换X?PY,把二次型f化为标准形。 （2）在x?1的条件下，求二次型f的最大值和最小值。
三、证明与讨论（3题共40分）
??x1?x2?x3?0?x??x2?x3?3 , 问? 取何值时，此方程组有惟一解、无解或有无
1、设有线性方程组?1?x?x??x??123?1穷多个解？并在有无穷多解时求出其通解。（15分）
2、设三阶阵A有三个实特征值?1、?2、?3，且满足?1??2??3，如果?1对应两个线性无关的特征向量?1和?2, ?3对应一个特征向量?3，证明?1,?2,?3线性无关。（10分）
由各班团支书搜集，团支书联席会秘书长蒋润珠，副秘书长董叶子、杨梦楠、周家伊、朱怡哲整理。
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?0?3、设A?1??x2?01??1?1?，x为实数，试讨论x为何值时，矩阵A可与对角阵相似？（15分） 00??线性代数D（即工科36学时）参考解答：
一、计算下列各题：
00960112?311?2110310?12241、解：由－1－2－1＝9?0，及R（?1,?2,?3）?3，则知?1,?2,?3即为一极大无关组。
?2、解：AA?A，A?2?40，所以：AA??1600。
?x1??111????111?x?0, 3、解：令???2???1－211－21???????x3??101??x1??x3, 得，取????010??x2?0????1,0,1?即可。
111?111?11??顺序主子式为
4、解：f的矩阵A?123， a11?1?0，?1?0，123?1?0，
??12?136?136??根据正定性的判定定理知f为正定二次型。
T?a??a??a???????20065、解：A?b?111?，则A?b111?????b??111????c??c??c???????2006个A?a????b??111? ?c????a??a???????b??111??b??111??c??c?????2005个(a?b?c)相乘?a??aaa?????=(a?b?c)2005bbb。 b111???????c??ccc?????二、解答下列各题：
1、解：(1)由A?AB?E，得A?A?B??E，而A??1?0, 因此矩阵A可逆，且
2?1?1?2??021?????A?1??011? ，所以由A?A?B??E，得A?B?A?1，故B?A?A?1??000?。
?000??00?1?????（2）注意4A2?B2?2BA?2AB＝2A（2A＋B）?B(B＋2A)?(2A＋B)(2A?B),
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?24?1??20?3??484???????且(2A＋B)＝022, (2A?B)＝022,(2A＋B)(2A?B)＝040， ???????00?2??00?2??004????????484??1?2?1?1????，22?13即C?4A?B?2BA?2AB=040。再注意C＝， C?4010????4?004??001??????1?则C*?CC?1?160??0??0?2、解：（1）A?1??1?令f(?)?0，得?1??2?2?1??10?。 01??11????0?1?，A的特征多项式为f(?)?1?10?1? ?1, ?3??2，11???1??(??1)(??2),?1????111??x1?????对?1??2?1,解线性方程组?1?1?1??x2??o?x1?x2?x3?0,基础解系为：
?1?1?1??x????3?11(1,0,1), ?2?(?1,?2,1) ?1?(1,0,1)?,?2?(1,1,0)?，正交规范化得：?1?26?211??x1??2x1?x2?x3?0????对?3??2， 解线性方程组?12?1??x2??o??，得基础解系为：x?x?2x?023?1?1?12??x????3??3?(1,?1,?1)?，规范化得：?3?????则所求之一正交变换矩阵P??????1201213-1(1,?1,?1)?，
6-26161??3?-1?222f?y?y?2y变换之下的标准形为：。 123?，
3?-1??3?222y?3?，y注意：则?2?1?30?y3?1，y3?，1 313 （2）由于正交变换保持向量的长度不变，则X?Y?1，
222222f?y?y?2y?y?y?y?1231233??即f的最大值为1，最小值为?2。比如令Y?(0,0,1)，有minf??2, 令Y?(1,0,0)，有
maxf?1。
三、证明题与讨论题：
1、解：通过对增广阵的讨论可得如下结论：
(1)当??1且???2时，R(A)?R(B)?3,方程组有唯一解；
(2)当??1时，R(A)?1，R(B)?2，该情形方程组无解；
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武汉大学数学与统计学院2005-2006学年第二学期《线性代数》36(A卷)
