2012年全国高中数学联赛试题（A卷）
一、 填空题：（本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上）
1．设P是函数y?x?2(x?0)的图像上任意一点，过点P分别向直线y?x和y轴作垂x线，垂足分别为A、B，则PA?PB的值是 .
c，2．设ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、且满足acosB?bcosA?b、
的值是 .
3．设x、y、z∈[0，1]，则M?23tanA则c，5tanBx?y?y?z?z?x的最大值是 .
4．抛物线y?2px（p?0）的焦点为F，准线为l，A、B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=
MN?．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是 .
AB35．设同底的两个正三棱锥P-ABC和Q-ABC内接于同一个球，若正三棱锥P-ABC的侧面与底
面所成的角为45o，则正三棱锥Q-ABC的侧面与底面所成角的正切值是 . 6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?x，若对任意的x?[a,a?2]，不等式f(x?a)?2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是 . 7．满足
21?1?sin?的所有正整数n的和是 . 4n38．某情报站有A、B、C、D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从
上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第一周使用A种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是 .（用最简分数表示） 二、解答题：（本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 9．（本小题满分16分） 已知函数f(x)?asinx?131cos2x?a??，a?R且a?0． 2a2（1） 若对任意x?R，都有f(x)?0，求a的取值范围； （2） 若a?2，且存在x?R，使得f(x)?0，求a的取值范围． 10．（本小题满分20分）
已知数列{an}的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有
33(a1?a2???an)3?a13?a2???an．
（1） 当n?3时，求所有满足条件的三项组成的数列a1,a2,a3；
（2） 是否存在满足条件的无穷数列{an}，使得a2013??2012？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．
11．（本小题满分20分）
如图，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且OB?OD?6． （1） 求证：OA?OC为定值；
（2） 当点A在半圆M：(x?2)?y?4(2?x?4)上运动时，求点C的轨迹． 二试 一、（本题满分40分）
1．如图，在锐角ΔABC中，AB>AC，M、N是BC边上不同的两点，使得∠BAM=∠CAN，设ΔABC和ΔAMN的外心分别为O1、O2，求证：O1、O2、A三点共线．
22 2．试证明：集合A={2，2，…，2,…}满足：（1）对每个a?A，及b?N，若b?2a?1，，
2
n
?则使b(b?1)一定不是2a的倍数；（2）对每个a?A（其中A表示A在N中的补集）且
?a?1，必存在b?N?，b?2a?1，使b(b?1)是2a的倍数．
3．设P0，P1，…，Pn是平面上n?1个点，它们两两间的距离的最小值为d（d?0）．求
?d?证：P0P?PP???PP???1020n?3?4．设Sn?1?n(n?1)!
11???，n是正整数，证明：对满足0?a?b?1的任意实数a，b，2n数列{Sn?[Sn]}中有无穷多项属于（a，b）．这里[x]表示不超过实数x的最大整数．
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