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【关键字】数学
2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.7 解三
角形实际应用举例教师用书 文 北师大版
1．仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)． 2．方向角
相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3．方向角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方向角为α(如图②)． 【知识拓展】
1．三角形的面积公式： S＝ (p＝)，
S＝＝rp(R为三角形外接圆半径，r为三角形内切圆半径，p＝)． 2．坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比． 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，]．( × )
(3)方向角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √ ) (4)方向角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是[0，)．( √ )
1．(教材改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )
A．50 m B．50 m C．25 m D. m 答案 A
解析 由正弦定理得＝， 又∵B＝30°， ∴AB＝＝＝50(m)．
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2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( ) A．北偏东15° C．北偏东10° 答案 B
解析 如图所示，∠ACB＝90°， 又AC＝BC，
∴∠CBA＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°， ∴点A在点B的北偏西15°.
3．(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于( ) A．10 n mile C．5 n mile 答案 D
解析 如图，在△ABC中， AB＝10，A＝60°，B＝75°， ∴＝， ∴BC＝5.
4．如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________. 答案 a
解析 由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝a，又在Rt△ADB中，AB＝AD＝a. 5．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________ km/h. 答案 60° 20
解析 如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，故OC＝20，∠COY＝30°＋30°＝60°. 题型一 求距离、高度问题
例1 (1)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气
B. n mile D．5 n mile B．北偏西15° D．北偏西10°
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球的高AD是60 m，则河流的宽度BC等于( ) A．240(－1) m C．120(－1) m
B．180(－1) m D．30(＋1) m
(2)(2016·三明模拟)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高是______ m. 400
答案 (1)C (2)
3
解析 (1)如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60 m，所以CD＝AD·tan 60°＝603(m)．
在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°， 所以BD＝AD·tan 15°＝60(2－3)(m)． 所以BC＝CD－BD＝603－60(2－3) ＝120(3－1)(m)．
【数学】2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形47解三角形实际应用举例教师用书文北师大版
